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Corso di Analisi Matematica 2 GRATIS

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Corso di Laurea in Matematica Anno accademico 2015/2016
Prof.Massimo Gobbino - Università di Pisa - Dipartimento di Matematica
Ore di Lezione: 120
Questo corso è pensato per gli studenti del Corso di Laurea in Matematica. Certamente è adatto anche per studenti di altri corsi di studi, purché sufficientemente motivati e privi di problemi sui preliminari (cioè precorso, Analisi 1 e Algebra Lineare). Ad esempio è sicuramente adatto per chi ha seguito con successo il corrispondente corso di Analisi Matematica 1 (anno 2014/2015), o per chi ha già seguito con noia i corsi di Analisi 2 per ingegneria. Per tutti gli altri, il consiglio è di partire con una delle versioni edulcorate, ad esempio il corso di Analisi 2 del 2013/2014.

Stampato integrale lezioni (Volume 1 - Lezioni 1/47)
users.dma.unipi.it/~gobbino/Home...1.pdf
Stampato integrale lezioni (Volume 2 - Lezioni 48/86)
users.dma.unipi.it/~gobbino/Home...2.pdf
Stampato integrale lezioni (Volume 3 - Lezioni 87/130)
users.dma.unipi.it/~gobbino/Home...3.pdf
Stampato integrale lezioni (Appendice di Teoria della Misura)
users.dma.unipi.it/~gobbino/Home...M.pdf
Informazioni sui video: users.dma.unipi.it/~gobbino/Home...AD_Vi

Lezioni
1) Introduzione al corso. Struttura euclidea, metrica e topologia nello spazio a n dimensioni. Funzioni di n variabili e loro grafico. Metodi per visuali Lezione del 23/09/2015 392 visualizzazioni link a risorsa esterna
2) Definizioni di limite in un punto per funzioni di più variabili. Funzioni continue. Primi esempi di limite. Lezione del 23/09/2015 250 visualizzazioni link a risorsa esterna
3) Limiti all'infinito per funzioni di più variabili. Esempi di limiti per funzioni di più variabili: esistenza via stime+carabinieri o coordinate po Lezione del 25/09/2015 232 visualizzazioni link a risorsa esterna
4) Ulteriori esempi di limiti per funzioni di più variabili. Lezione del 25/09/2015 218 visualizzazioni link a risorsa esterna
5) Derivate parziali e direzionali e loro significato geometrico. Differenziale per funzioni di più variabili. Esempi di funzioni che hanno tutte le der Lezione del 29/09/2015 268 visualizzazioni link a risorsa esterna
6) Una funzione differenziabile è continua e ha tutte le derivate direzionali. Formula per le derivate direzionali. Gradiente e sua interpretazione geom Lezione del 29/09/2015 256 visualizzazioni link a risorsa esterna
7) Teorema del differenziale totale: caso classico e caso con ipotesi più minimaliste. Prodotto di matrici e differenziale della funzione composta. Lezione del 30/09/2015 208 visualizzazioni link a risorsa esterna
8) Lipschitzianità delle funzioni lineari. Chain rule e funzioni composte in più variabili: esempi di applicazione. Lezione del 30/09/2015 310 visualizzazioni link a risorsa esterna
9) Derivate successive per funzioni di più variabili. Teorema di inversione dell'ordine di derivazione: enunciato, dimostrazione, controesempi. Lezione del 02/10/2015 240 visualizzazioni link a risorsa esterna
10) Formalismo dei multi-indici. Sviluppo di Taylor in più variabili e idea della dimostrazione nel caso con resto di Lagrange. Lezione del 02/10/2015 246 visualizzazioni link a risorsa esterna
11) Teorema di Lagrange direzionale per funzioni di più variabili. Le funzioni con gradiente nullo sono costanti sui connessi. Limitatezza del gradiente Lezione del 06/10/2015 224 visualizzazioni link a risorsa esterna
12) Dimostrazione della formula di Taylor in più variabili con resto alla Peano. Ricapitolazione sulle forme quadratiche ed i metodi per determinarne la Lezione del 06/10/2015 250 visualizzazioni link a risorsa esterna
13) Fine ripasso sulle forme quadratiche. Stima dal basso per forme quadratiche definite positive. Matrice Hessiana. Segnatura della matrice Hessiana e co Lezione del 07/10/2015 226 visualizzazioni link a risorsa esterna
14) Dimostrazione del criterio che lega la segnatura dell'hessiana alla natura di un punto stazionario. Esempi di studio di punti stazionari. Lezione del 07/10/2015 235 visualizzazioni link a risorsa esterna
15) Compattezza e teorema di Weierstrass in più variabili. Ricerca dei punti di massimo/minimo. Nei punti di massimo/minimi interni il gradiente (se esis Lezione del 09/10/2015 208 visualizzazioni link a risorsa esterna
16) Primi esempi di problemi di massimo/minimo su insiemi compatti: metodo delle linee di livello e metodo di parametrizzazione del bordo. Lezione del 09/10/2015 211 visualizzazioni link a risorsa esterna
17) Esercizi sul calcolo di gradiente e matrice hessiana in n variabili. Esercizi sulla chain rule: formula generale per le soluzioni dell'equazione d Lezione del 13/10/2015 264 visualizzazioni link a risorsa esterna
18) Metodo dei moltiplicatori di Lagrange (caso di un solo moltiplicatore): descrizione del metodo e primi esempi di applicazione. Lezione del 14/10/2015 227 visualizzazioni link a risorsa esterna
19) Giustificazione intuitiva del metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Utilizzo misto di moltiplicatori ed altre tecniche. Caratterizzazione di autovett Lezione del 14/10/2015 211 visualizzazioni link a risorsa esterna
20) Metodo dei moltiplicatori di Lagrange (caso con più moltiplicatori): descrizione del metodo ed esempi di applicazione. Lezione del 16/10/2015 221 visualizzazioni link a risorsa esterna
21) Esercizi sui massimi/minimi per funzioni di più variabili su insiemi compatti. Metodo di sostituzione del vincolo. Massimi/minimi di funzioni con val Lezione del 16/10/2015 231 visualizzazioni link a risorsa esterna
22) Teorema di Weierstrass generalizzato su insiemi non compatti. Esempi di problemi di massimo/minimo su insiemi non compatti. Lezione del 20/10/2015 249 visualizzazioni link a risorsa esterna
23) Dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra (via Weierstrass generalizzato e studio locale). Ulteriori esempi di massimi/minimi su insiemi Lezione del 20/10/2015 243 visualizzazioni link a risorsa esterna
24) Sottoinsiemi convessi e funzioni convesse in più variabili. Punti estremali di insiemi convessi e punti di massimo di funzioni convesse. La convessit Lezione del 21/10/2015 216 visualizzazioni link a risorsa esterna
25) Equivalenza tra due definizioni di locale limitatezza. Le funzioni convesse sono localmente limitate nella parte interna dell'insieme di definizio Lezione del 21/10/2015 214 visualizzazioni link a risorsa esterna
26) Convessità e continuità: le funzioni convesse sono continue e localmente lipschitziane nella parte interna dell'insieme di definizione. Convessità Lezione del 23/10/2015 204 visualizzazioni link a risorsa esterna
27) Esempi di funzioni convesse in due variabili. Esempio non banale di utilizzo dei moltiplicatori di Lagrange. Lezione del 23/10/2015 214 visualizzazioni link a risorsa esterna
28) Introduzione agli integrali doppi: notazioni, significato geometrico, step functions, integrale inferiore e superiore, criterio di integrabilità. Lezione del 27/10/2015 229 visualizzazioni link a risorsa esterna
29) Descrizione della formula di riduzione per integrali doppi su rettangoli e su insiemi normali. Analogia con il double counting. Esempi di applicazione Lezione del 27/10/2015 234 visualizzazioni link a risorsa esterna
30) Proprietà basilari dell'integrale (linearità, monotonia, integrale del prodotto e del valore assoluto, ...) analoghe a quelle valide in una variab Lezione del 28/10/2015 220 visualizzazioni link a risorsa esterna
31) Formula di spezzamento in ipotesi di integrabilità. Insiemi misurabili e loro caratterizzazione. Misurabilità degli insiemi normali. Integrabilità Lezione del 28/10/2015 235 visualizzazioni link a risorsa esterna
32) Utilizzo delle coordinate polari per il calcolo di integrali doppi: descrizione della formula ed esempi di applicazione. Lezione del 30/11/2015 220 visualizzazioni link a risorsa esterna
33) Formula generale per il cambio di variabili negli integrali doppi ed esempi classici di applicazione. Classi particolari di trasformazioni: traslazion Lezione del 30/11/2015 208 visualizzazioni link a risorsa esterna
34) Integrali tripli: notazioni, significato fisico, definizione. Formula di riduzione sui parallelepipedi e su insiemi normali (integrazione per colonne) Lezione del 03/11/2015 225 visualizzazioni link a risorsa esterna
35) Formula di riduzione per sezioni per gli integrali tripli. Utilizzo delle simmetrie per mostrare che certi integrali sono nulli, o comunque per sempli Lezione del 03/11/2015 199 visualizzazioni link a risorsa esterna
36) Coordinate cilindriche e sferiche nello spazio. Cambi di variabile negli integrali tripli. Esempi di applicazione. Lezione del 04/11/2015 235 visualizzazioni link a risorsa esterna
37) Solidi di rotazione: equazioni e formula per il volume. Calcolo del baricentro di figure piane /solide mediante integrali doppi/tripli. Teorema di Gul Lezione del 04/11/2015 219 visualizzazioni link a risorsa esterna
38) Basi teoriche della formula di spezzamento per integrali multipli. Teorema della media integrale. Calcolo di momenti d'inerzia mediante integrali Lezione del 06/11/2015 295 visualizzazioni link a risorsa esterna
39) Integrali di funzioni con valori assoluti. Esercizi riassuntivi sugli integrali multipli. Lezione del 06/11/2015 225 visualizzazioni link a risorsa esterna
40) Dimostrazione della formula di cambio di variabili negli integrali multipli (parte prima): caso delle trasformazioni affini. Lezione del 10/11/2015 220 visualizzazioni link a risorsa esterna
41) Dimostrazione della formula di cambio di variabili negli integrali multipli (parte seconda): riduzione al caso dei cubi piccoli, stima di un diffeomor Lezione del 10/11/2015 216 visualizzazioni link a risorsa esterna
42) Dimostrazione della formula di cambio di variabili negli integrali multipli (parte terza): enunciato e dimostrazione di una disuguaglianza nel caso de Lezione del 11/11/2015 196 visualizzazioni link a risorsa esterna
43) Introduzione agli integrali impropri in più variabili. Commenti sulla scelta di limitare la teoria agli integrali assolutamente convergenti. Studio d Lezione del 11/11/2015 233 visualizzazioni link a risorsa esterna
44) Un integrale improprio non dipende da come viene invasa la zona di integrazione in sede di definizione. Calcolo dell'integrale gaussiano mediante Lezione del 13/11/2015 226 visualizzazioni link a risorsa esterna
45) Esercizi sullo studio della convergenza di integrali multipli impropri. Lezione del 13/11/2015 213 visualizzazioni link a risorsa esterna
46) Volume della palla n-dimensionale: formule esplicite e ricorrenti. Integrali impropri in dimensione n: discussione degli esponenti critici per gli int Lezione del 17/11/2015 212 visualizzazioni link a risorsa esterna
47) Esempi finali sugli integrali multipli impropri: utilizzo di stime sia sulle integrande, sia sulla zona di integrazione. Lezione del 17/11/2015 240 visualizzazioni link a risorsa esterna
48) Definizione di curva e suo sostegno. Curve chiuse e semplici. Strategie per dimostrare la semplicità. Disegno di una curva piana. Vettore e retta tan Lezione del 18/11/2015 235 visualizzazioni link a risorsa esterna
49) Definizione di lunghezza di una curva e di curva rettificabile. Le curve Lipschitziane sono rettificabili. Integrali di funzioni vettoriali: stime dal Lezione del 18/11/2015 247 visualizzazioni link a risorsa esterna
50) Lunghezza di curve cartesiane o in coordinate polari. Esempi di calcolo di lunghezze curve. Discussione dell'indipendenza della lunghezza dalla pa Lezione del 19/11/2015 270 visualizzazioni link a risorsa esterna
51) Esempi di curve di lunghezza infinita. Integrale curvilineo: notazioni, significato geometrico, idea della definizione, formula per il calcolo. Barice Lezione del 19/11/2015 231 visualizzazioni link a risorsa esterna
52) Definizione di forma differenziale. Integrale di una forma differenziale su una curva: definizione ed interpretazione fisica. Commenti sui rapporti tr Lezione del 24/11/2015 250 visualizzazioni link a risorsa esterna
53) Differente comportamento dell'integrale curvilineo di una forma e di una funzione rispetto a riparametrizzazioni di una curva. Forme differenziali Lezione del 24/11/2015 222 visualizzazioni link a risorsa esterna
54) Forme differenziali chiuse. Esattezza implica chiusura. Insiemi convessi, stellati, connessi, semplicemente connessi. Le forme chiuse sono esatte negl Lezione del 25/11/2015 206 visualizzazioni link a risorsa esterna
55) L'integrale di una forma chiusa su due curve omotope coincide (enunciato). Esempio di forma differenziale chiusa ma non esatta. Come testare l' Lezione del 25/11/2015 327 visualizzazioni link a risorsa esterna
56) Integrali dipendenti da un parametro: teoremi di continuità e derivabilità (derivazione sotto il segno di integrale). Esattezza delle forme chiuse n Lezione del 27/11/2015 211 visualizzazioni link a risorsa esterna
57) L'integrale di una forma chiusa su due curve omotope (mediante omotopia sufficientemente regolare) coincide. Quattro strategie per il calcolo dell Lezione del 27/11/2015 338 visualizzazioni link a risorsa esterna
58) Superfici nello spazio: definizione e primi esempi. Superfici cartesiane. Piano tangente e vettore normale. Formula per un vettore perpendicolare a du Lezione del 01/12/2015 240 visualizzazioni link a risorsa esterna
59) La retta tangente ad una curva su una superficie è contenuta nel piano tangente. Come non si definisce l'area di una superficie: esempio di Schwar Lezione del 01/12/2015 196 visualizzazioni link a risorsa esterna
60) Definizione di area di una superficie e modi equivalenti di scrivere la formula per il calcolo. Invarianza dell'area per riparametrizzazione. Caso Lezione del 02/12/2015 217 visualizzazioni link a risorsa esterna
61) Formule equivalenti per l'area di una superficie di rotazione. Teorema di Guldino per l'area delle superfici di rotazione. Integrali superfici Lezione del 02/12/2015 320 visualizzazioni link a risorsa esterna
62) Gradiente, laplaciano, divergenza, rotore: definizioni e relazioni tra di esse. Significato di gradiente/divergenza/laplaciano nulli/uguali. Lezione del 04/12/2015 270 visualizzazioni link a risorsa esterna
63) Teorema di Gauss-Green e teorema della divergenza nel piano. Equivalenza tra le due formulazioni. Interpretazione del termine di bordo come integrale Lezione del 04/12/2015 218 visualizzazioni link a risorsa esterna
64) Applicazioni del teorema della divergenza: area ed integrale di funzioni su domini delimitati da curve date. Lezione del 09/12/2015 206 visualizzazioni link a risorsa esterna
65) Applicazioni del teorema della divergenza: calcolo di integrali di flusso. Laplaciano in coordinate polari e funzioni armoniche radiali. Lezione del 09/12/2015 202 visualizzazioni link a risorsa esterna
66) Dimostrazione del teorema della divergenza su insiemi normali. Idea euristica per dimostrare il teorema nel caso generale scomponendo il dominio e sfr Lezione del 11/12/2015 238 visualizzazioni link a risorsa esterna
67) Partizioni dell'unità. Dimostrazione del teorema della divergenza nel caso generale. Lezione del 11/12/2015 215 visualizzazioni link a risorsa esterna
68) Orientazione del bordo di una superficie. Enunciato della formula di Stokes (teorema del rotore). Come determinare un vettore che ha per rotore un vet Lezione del 15/12/2015 252 visualizzazioni link a risorsa esterna
69) Quattro strategie per calcolare un integrale di flusso attraverso una superficie. Lezione del 15/12/2015 226 visualizzazioni link a risorsa esterna
70) Dimostrazione della formula di Stokes. Dimostrazione via Gauss-Green di un caso particolare (dimensione due, maggior regolarità su dominio, integrand Lezione del 16/12/2015 197 visualizzazioni link a risorsa esterna
71) Giustificazione formale dell'algoritmo per trovare un vettore dato il suo rotore. Esempio di vettore a divergenza nulla che non è un rotore. L' Lezione del 16/12/2015 258 visualizzazioni link a risorsa esterna
72) Spazi metrici, spazi di Banach, spazi di Hilbert: definizioni, motivazioni, esempi principali. Lezione del 24/02/2016 202 visualizzazioni link a risorsa esterna
73) Equivalenza tra continuità per successioni e continuità epsilon/delta in spazi metrici. Equivalenza di tutte le norme in dimensione finita. Definizi Lezione del 24/02/2016 215 visualizzazioni link a risorsa esterna
74) Compattezza in spazi metrici: equivalenza tra compattezza per ricoprimenti, compattezza per successioni, e completezza più totale limitatezza. Lezione del 26/02/2016 215 visualizzazioni link a risorsa esterna
75) Lemma del raggio magico (numero di Lebesgue di un ricoprimento). Teorema di Heine-Cantor in spazi metrici. Criterio per dimostrare la totale limitatez Lezione del 26/02/2016 385 visualizzazioni link a risorsa esterna
76) Teorema delle contrazioni in spazi metrici. Completamento di uno spazio metrico: definizioni ed enunciato dei tre risultati principali (esistenza, uni Lezione del 01/03/2016 224 visualizzazioni link a risorsa esterna
77) Dimostrazione dei tre risultati principali sul completamento di spazi metrici. Lezione del 01/03/2016 240 visualizzazioni link a risorsa esterna
78) Teorema delle funzioni implicite: presentazione del problema, enunciato e dimostrazione nel caso di una equazione in due variabili, continuità e ulte Lezione del 02/03/2016 192 visualizzazioni link a risorsa esterna
79) Teorema delle funzioni implicite (una equazione in dimensione n). Calcolo del polinomio di Taylor di funzioni definite implicitamente. Limiti all' Lezione del 02/03/2016 203 visualizzazioni link a risorsa esterna
80) Teorema delle funzioni implicite (una equazione in dimensione 2): dimostrazione mediante punto fisso. Lezione del 04/03/2016 225 visualizzazioni link a risorsa esterna
81) Teorema delle funzioni implicite: caso generale (k equazioni in dimensione n). Lezione del 04/03/2016 204 visualizzazioni link a risorsa esterna
82) Teorema della funzione inversa (aka teorema di invertibilità locale). Teorema della mappa aperta. Lezione del 08/03/2016 206 visualizzazioni link a risorsa esterna
83) Moltiplicatori di Lagrange: dimostrazione mediante teorema di invertibilità locale (nel caso generale) e mediante esplicitazione del vincolo (nel cas Lezione del 08/03/2016 220 visualizzazioni link a risorsa esterna
84) Moltiplicatori di Lagrange: dimostrazione mediante esplicitazione del vincolo nel caso generale. Semicontinuità del rango di una matrice. Lezione del 09/03/2016 218 visualizzazioni link a risorsa esterna
85) Moltiplicatori di Lagrange: dimostrazione mediante penalizzazione del vincolo. Esercizi sull'invertibilità di mappe vettoriali. Lezione del 09/03/2016 330 visualizzazioni link a risorsa esterna
86) Moltiplicatori di Lagrange: condizione sufficiente per essere punto di massimo/minimo. Esercizi su funzioni implicite e funzioni inverse. Lezione del 11/03/2016 225 visualizzazioni link a risorsa esterna
87) Successioni di funzioni: definizione di convergenza puntuale e uniforme. Primi esempi. Lezione del 11/03/2016 217 visualizzazioni link a risorsa esterna
88) Convergenza uniforme: teoremi di scambio dell'integrale e della derivata. Lezione del 15/03/2016 205 visualizzazioni link a risorsa esterna
89) Convergenza uniforme: teorema di scambio del limite. Continuità del limite uniforme di funzioni continue. Distanza nello spazio delle funzioni limita Lezione del 15/03/2016 213 visualizzazioni link a risorsa esterna
90) La convergenza puntuale implica la convergenza uniforme sotto ipotesi di monotonia (sia ad x fisso sia ad n fisso): enunciati e dimostrazioni. Lezione del 16/03/2016 195 visualizzazioni link a risorsa esterna
91) Convergenza uniforme sui compatti. Esercizio sulla convergenza in uno spazio di polinomi di grado limitato. Completezza o meno di spazi di funzioni ri Lezione del 16/03/2016 220 visualizzazioni link a risorsa esterna
92) Serie di funzioni. Convergenza totale: definizione e rapporti con la convergenza uniforme. M-test di Weierstrass. Convergenza totale come convergenza Lezione del 18/03/2016 380 visualizzazioni link a risorsa esterna
93) Esercizi sulle serie di funzioni. Lezione del 18/03/2016 194 visualizzazioni link a risorsa esterna
94) Serie di potenze: definizioni, enunciato dei principali risultati, esempio pratico di utilizzo per il calcolo di speciali serie numeriche. Lezione del 05/04/2016 207 visualizzazioni link a risorsa esterna
95) Serie di potenze: dimostrazione dei risultati principali (struttura dell'insieme convergenza, formula per il calcolo del raggio di convergenza, te Lezione del 05/04/2016 210 visualizzazioni link a risorsa esterna
96) Funzioni analitiche: definizione e criteri. Analiticità delle funzioni elementari: esponenziale, seno, coseno, logaritmo, arcotangente, potenza ad es Lezione del 06/04/2016 184 visualizzazioni link a risorsa esterna
97) Prodotto di Cauchy di serie numeriche. Teorema sul prodotto tra una serie convergente ed una assolutamente convergente. Prodotto di serie di potenze. Lezione del 06/04/2016 188 visualizzazioni link a risorsa esterna
98) Esercizi sulle funzioni analitiche: complementi sul raggio di convergenza (è sempre il massimo possibile), l'insieme degli zeri è discreto, ordine Lezione del 07/04/2016 167 visualizzazioni link a risorsa esterna
99) Calcolo della somma di serie di potenze, calcolo alla Eulero della somma dei quadrati dei reciproci degli interi, stima delle derivate successive di u Lezione del 07/04/2016 157 visualizzazioni link a risorsa esterna
100) Esercizi sulle successioni di funzioni: convergenza uniforme della composizione, limite uniforme di funzioni periodiche. Lezione del 08/04/2016 178 visualizzazioni link a risorsa esterna

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Allegati (138)
1) Dimostrazione della formula di cambio di variabili negli integrali multipli (parte prima): caso dell 2 downloads download
2) Integrali di funzioni con valori assoluti. Esercizi riassuntivi sugli integrali multipli. 2 downloads download
3) Basi teoriche della formula di spezzamento per integrali multipli. Teorema della media integrale. Ca 1 downloads download
4) Solidi di rotazione: equazioni e formula per il volume. Calcolo del baricentro di figure piane /soli 1 downloads download
5) Coordinate cilindriche e sferiche nello spazio. Cambi di variabile negli integrali tripli. Esempi di 1 downloads download
6) Formula di riduzione per sezioni per gli integrali tripli. Utilizzo delle simmetrie per mostrare che 1 downloads download
7) Integrali tripli: notazioni, significato fisico, definizione. Formula di riduzione sui parallelepipe 1 downloads download
8) Formula generale per il cambio di variabili negli integrali doppi ed esempi classici di applicazione 1 downloads download
9) Utilizzo delle coordinate polari per il calcolo di integrali doppi: descrizione della formula ed ese 1 downloads download
10) Formula di spezzamento in ipotesi di integrabilità. Insiemi misurabili e loro caratterizzazione. Mis 1 downloads download
11) Proprietà basilari dell'integrale (linearità, monotonia, integrale del prodotto e del valore ass 1 downloads download
12) Descrizione della formula di riduzione per integrali doppi su rettangoli e su insiemi normali. Analo 1 downloads download
13) Introduzione agli integrali doppi: notazioni, significato geometrico, step functions, integrale infe 1 downloads download
14) Esempi di funzioni convesse in due variabili. Esempio non banale di utilizzo dei moltiplicatori di L 1 downloads download
15) Convessità e continuità: le funzioni convesse sono continue e localmente lipschitziane nella parte i 1 downloads download
16) Equivalenza tra due definizioni di locale limitatezza. Le funzioni convesse sono localmente limitate 1 downloads download
17) Sottoinsiemi convessi e funzioni convesse in più variabili. Punti estremali di insiemi convessi e pu 1 downloads download
18) Dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra (via Weierstrass generalizzato e studio loca 1 downloads download
19) Teorema di Weierstrass generalizzato su insiemi non compatti. Esempi di problemi di massimo/minimo s 1 downloads download
20) Esercizi sui massimi/minimi per funzioni di più variabili su insiemi compatti. Metodo di sostituzion 1 downloads download
21) Metodo dei moltiplicatori di Lagrange (caso con più moltiplicatori): descrizione del metodo ed esemp 1 downloads download
22) Giustificazione intuitiva del metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Utilizzo misto di moltiplicator 1 downloads download
23) Metodo dei moltiplicatori di Lagrange (caso di un solo moltiplicatore): descrizione del metodo e pri 1 downloads download
24) Esercizi sul calcolo di gradiente e matrice hessiana in n variabili. Esercizi sulla chain rule: form 1 downloads download
25) Primi esempi di problemi di massimo/minimo su insiemi compatti: metodo delle linee di livello e meto 1 downloads download
26) Compattezza e teorema di Weierstrass in più variabili. Ricerca dei punti di massimo/minimo. Nei punt 1 downloads download
27) Dimostrazione del criterio che lega la segnatura dell'hessiana alla natura di un punto stazionar 1 downloads download
28) Fine ripasso sulle forme quadratiche. Stima dal basso per forme quadratiche definite positive. Matri 1 downloads download
29) Dimostrazione della formula di Taylor in più variabili con resto alla Peano. Ricapitolazione sulle f 1 downloads download
30) Teorema di Lagrange direzionale per funzioni di più variabili. Le funzioni con gradiente nullo sono 1 downloads download
31) Formalismo dei multi-indici. Sviluppo di Taylor in più variabili e idea della dimostrazione nel caso 1 downloads download
32) Derivate successive per funzioni di più variabili. Teorema di inversione dell'ordine di derivazi 1 downloads download
33) Lipschitzianità delle funzioni lineari. Chain rule e funzioni composte in più variabili: esempi di a 1 downloads download
34) Teorema del differenziale totale: caso classico e caso con ipotesi più minimaliste. Prodotto di matr 1 downloads download
35) Una funzione differenziabile è continua e ha tutte le derivate direzionali. Formula per le derivate 1 downloads download
36) Derivate parziali e direzionali e loro significato geometrico. Differenziale per funzioni di più var 1 downloads download
37) Ulteriori esempi di limiti per funzioni di più variabili. 1 downloads download
38) Limiti all'infinito per funzioni di più variabili. Esempi di limiti per funzioni di più variabil 1 downloads download
39) Definizioni di limite in un punto per funzioni di più variabili. Funzioni continue. Primi esempi di 1 downloads download
40) Introduzione al corso. Struttura euclidea, metrica e topologia nello spazio a n dimensioni. Funzioni 1 downloads download
41) Dimostrazione della formula di cambio di variabili negli integrali multipli (parte seconda): riduzio 1 downloads download
42) Dimostrazione della formula di cambio di variabili negli integrali multipli (parte terza): enunciato 1 downloads download
43) Introduzione agli integrali impropri in più variabili. Commenti sulla scelta di limitare la teoria a 1 downloads download
44) Un integrale improprio non dipende da come viene invasa la zona di integrazione in sede di definizio 1 downloads download
45) Esercizi sullo studio della convergenza di integrali multipli impropri. 1 downloads download
46) Volume della palla n-dimensionale: formule esplicite e ricorrenti. Integrali impropri in dimensione 1 downloads download
47) Esempi finali sugli integrali multipli impropri: utilizzo di stime sia sulle integrande, sia sulla z 1 downloads download
48) Definizione di curva e suo sostegno. Curve chiuse e semplici. Strategie per dimostrare la semplicità 1 downloads download
49) Definizione di lunghezza di una curva e di curva rettificabile. Le curve Lipschitziane sono rettific 1 downloads download
50) Lunghezza di curve cartesiane o in coordinate polari. Esempi di calcolo di lunghezze curve. Discussi 1 downloads download
51) Esempi di curve di lunghezza infinita. Integrale curvilineo: notazioni, significato geometrico, idea 1 downloads download
52) Definizione di forma differenziale. Integrale di una forma differenziale su una curva: definizione e 1 downloads download
53) Differente comportamento dell'integrale curvilineo di una forma e di una funzione rispetto a rip 1 downloads download
54) Forme differenziali chiuse. Esattezza implica chiusura. Insiemi convessi, stellati, connessi, sempli 1 downloads download
55) L'integrale di una forma chiusa su due curve omotope coincide (enunciato). Esempio di forma diff 1 downloads download
56) Integrali dipendenti da un parametro: teoremi di continuità e derivabilità (derivazione sotto il seg 1 downloads download
57) L'integrale di una forma chiusa su due curve omotope (mediante omotopia sufficientemente regolar 1 downloads download
58) Superfici nello spazio: definizione e primi esempi. Superfici cartesiane. Piano tangente e vettore n 1 downloads download
59) La retta tangente ad una curva su una superficie è contenuta nel piano tangente. Come non si definis 1 downloads download
60) Definizione di area di una superficie e modi equivalenti di scrivere la formula per il calcolo. Inva 1 downloads download
61) Formule equivalenti per l'area di una superficie di rotazione. Teorema di Guldino per l'area 1 downloads download
62) Gradiente, laplaciano, divergenza, rotore: definizioni e relazioni tra di esse. Significato di gradi 1 downloads download
63) Teorema di Gauss-Green e teorema della divergenza nel piano. Equivalenza tra le due formulazioni. In 1 downloads download
64) Applicazioni del teorema della divergenza: area ed integrale di funzioni su domini delimitati da cur 1 downloads download
65) Applicazioni del teorema della divergenza: calcolo di integrali di flusso. Laplaciano in coordinate 1 downloads download
66) Dimostrazione del teorema della divergenza su insiemi normali. Idea euristica per dimostrare il teor 1 downloads download
67) Partizioni dell'unità. Dimostrazione del teorema della divergenza nel caso generale. 1 downloads download
68) Orientazione del bordo di una superficie. Enunciato della formula di Stokes (teorema del rotore). Co 1 downloads download
69) Quattro strategie per calcolare un integrale di flusso attraverso una superficie. 1 downloads download
70) Dimostrazione della formula di Stokes. Dimostrazione via Gauss-Green di un caso particolare (dimensi 1 downloads download
71) Giustificazione formale dell'algoritmo per trovare un vettore dato il suo rotore. Esempio di vet 1 downloads download
72) Spazi metrici, spazi di Banach, spazi di Hilbert: definizioni, motivazioni, esempi principali. 1 downloads download
73) Equivalenza tra continuità per successioni e continuità epsilon/delta in spazi metrici. Equivalenza 1 downloads download
74) Compattezza in spazi metrici: equivalenza tra compattezza per ricoprimenti, compattezza per successi 1 downloads download
75) Lemma del raggio magico (numero di Lebesgue di un ricoprimento). Teorema di Heine-Cantor in spazi me 1 downloads download
76) Teorema delle contrazioni in spazi metrici. Completamento di uno spazio metrico: definizioni ed enun 1 downloads download
77) Dimostrazione dei tre risultati principali sul completamento di spazi metrici. 1 downloads download
78) Teorema delle funzioni implicite: presentazione del problema, enunciato e dimostrazione nel caso di 1 downloads download
79) Teorema delle funzioni implicite (una equazione in dimensione n). Calcolo del polinomio di Taylor di 1 downloads download
80) Teorema delle funzioni implicite (una equazione in dimensione 2): dimostrazione mediante punto fisso 1 downloads download
81) Teorema delle funzioni implicite: caso generale (k equazioni in dimensione n). 1 downloads download
82) Teorema della funzione inversa (aka teorema di invertibilità locale). Teorema della mappa aperta. 1 downloads download
83) Moltiplicatori di Lagrange: dimostrazione mediante teorema di invertibilità locale (nel caso general 1 downloads download
84) Moltiplicatori di Lagrange: dimostrazione mediante esplicitazione del vincolo nel caso generale. Sem 1 downloads download
85) Moltiplicatori di Lagrange: dimostrazione mediante penalizzazione del vincolo. Esercizi sull'inv 1 downloads download
86) Moltiplicatori di Lagrange: condizione sufficiente per essere punto di massimo/minimo. Esercizi su 1 downloads download
87) Successioni di funzioni: definizione di convergenza puntuale e uniforme. Primi esempi. 1 downloads download
88) Convergenza uniforme: teoremi di scambio dell'integrale e della derivata. 1 downloads download
89) Convergenza uniforme: teorema di scambio del limite. Continuità del limite uniforme di funzioni cont 1 downloads download
90) La convergenza puntuale implica la convergenza uniforme sotto ipotesi di monotonia (sia ad x fisso s 1 downloads download
91) Convergenza uniforme sui compatti. Esercizio sulla convergenza in uno spazio di polinomi di grado li 1 downloads download
92) Serie di funzioni. Convergenza totale: definizione e rapporti con la convergenza uniforme. M-test di 1 downloads download
93) Esercizi sulle serie di funzioni. 1 downloads download
94) Serie di potenze: definizioni, enunciato dei principali risultati, esempio pratico di utilizzo per i 1 downloads download
95) Serie di potenze: dimostrazione dei risultati principali (struttura dell'insieme convergenza, fo 1 downloads download
96) Funzioni analitiche: definizione e criteri. Analiticità delle funzioni elementari: esponenziale, sen 1 downloads download
97) Prodotto di Cauchy di serie numeriche. Teorema sul prodotto tra una serie convergente ed una assolut 1 downloads download
98) Esercizi sulle funzioni analitiche: complementi sul raggio di convergenza (è sempre il massimo possi 1 downloads download
99) Calcolo della somma di serie di potenze, calcolo alla Eulero della somma dei quadrati dei reciproci 1 downloads download
100) Esercizi sulle successioni di funzioni: convergenza uniforme della composizione, limite uniforme di 1 downloads download
101) Esercizi sulle serie di funzioni: limiti trattati mediante confronto serie-integrali e risoluzione p 1 downloads download
102) Equazioni differenziali: riepilogo notazioni, formulazione integrale di un problema di Cauchy (equaz 1 downloads download
103) Parte di esistenza del teorema CLPL: dimostrazione alla Cauchy-Lipschitz (via contrazioni senza temp 1 downloads download
104) Parte di esistenza del teorema CLPL: dimostrazione mediante contrattività di una opportuna iterata d 1 downloads download
105) Parte di unicità del teorema CLPL: dimostrazione mediante le contrazioni e mediante lemma di Gronwal 1 downloads download
106) Teorema di Ascoli-Arzelà (versione standard sulla retta reale): enunciato e dimostrazione. 1 downloads download
107) Teorema di Ascoli-Arzelà (versione metrica e variante con sola convergenza sui compatti). Dimostrazi 1 downloads download
108) Dimostrazione del teorema di Peano con approssimanti alla Tonelli (problemi con ritardo). Approssima 1 downloads download
109) Teorema di esistenza globale (caso di rhs globalmente limitato). Teorema di alternativa (esistenza g 1 downloads download
110) Teorema dell'asintoto. Primi esempi di studio qualitativo per equazioni differenziali autonome. 1 downloads download
111) Soprasoluzioni e sottosoluzioni e relativo teorema di confronto. Teorema di esistenza globale (caso 1 downloads download
112) Ulteriori esempi di studio qualitativo di equazioni autonome. 1 downloads download
113) Primi esempi di studio qualitativo di equazioni non autonome. 1 downloads download
114) Teorema di confronto tra soprasoluzioni e sottosoluzioni deboli (nel caso Lipschitz). Parte di unici 1 downloads download
115) Primo esempio di studio qualitativo di un'equazione differenziale non autonoma con valori soglia 1 downloads download
116) Ulteriore esempio di studio qualitativo con valori soglia. 1 downloads download
117) Esercizi sullo studio qualitativo di equazioni differenziali. 1 downloads download
118) Dipendenza continua dal dato iniziale: passaggio al limite nel caso con rhs continuo e stima della d 1 downloads download
119) Equazioni di ordine 2: spazio delle fasi, introduzione al metodo energetico, primi esempi. 1 downloads download
120) Equazioni di ordine 2: blow up vs esistenza di soluzioni periodiche, calcolo del periodo e sua dipen 1 downloads download
121) Sistemi di equazioni differenziali lineari autonome a coefficienti costanti: teoria generale. Espone 1 downloads download
122) Sistemi di equazioni differenziali lineari omogenee: studio della stabilità e stabilità asintotica n 1 downloads download
123) Sistemi di equazioni differenziali lineari omogenee: studio dell'asintotica stabilità con metodi 1 downloads download
124) Teorema di linearizzazione: enunciato più formale e dimostrazione energetica nel caso di linearizzat 1 downloads download
125) Equazione logistica. Esempi di sistemi di equazioni differenziali: modello preda-predatore (Volterra 1 downloads download
126) Esempi di sistemi di equazioni differenziali: modello per due specie in competizione, epidemia SIS, 1 downloads download
127) Esempi di studio di equazioni differenziali del secondo ordine non lineari. Buca di potenziale. 1 downloads download
128) Esempio di convergenza dominata per integrali impropri. Calcolo dell'integrale di Dirichlet. 1 downloads download
129) Derivazione sotto il segno di integrale per integrali impropri. Applicazione all'integrale di Di 1 downloads download
130) Fine del calcolo degli integrali di Fresnel. Wronskiano e teorema di oscillazione per equazioni line 1 downloads download
131) Introduzione alla teoria della misura: motivazioni. Paradosso di Banach-Tarski. Sigma-algebra. Tre d 1 downloads download
132) Teoremi di passaggio al limite della misura su successioni monotone di insiemi. Insiemi misurabili a 1 downloads download
133) Costruzioni di misure: metodo I (misura di Lebesgue) e metodo II (misure di Hausdorff). Verifica che 1 downloads download
134) Gli insiemi boreliani sono misurabili se e solo se la misura è additiva sui distanti. Le misure cost 1 downloads download
135) Misurabilità alla Caratheodory vs misura interna. Esempio di Vitali (insieme non misurabile secondo 1 downloads download
136) Step functions (con immagine finita o numerabile). Definizione di integrale per funzioni positive (e 1 downloads download
137) Enunciato dei tre teoremi di passaggio al limite (Beppo Levi o convergenza monotona, lemma di Fatou, 1 downloads download
138) Dimostrazione del teorema di convergenza dominata e di convergenza monotona. Teoremi di continuità e 1 downloads download