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Analisi Matematica 1 - Uniclam

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Prof. Antonio Corbo Esposito - Ingegneria Industriale - Università di Cassino e del Lazio Meridionale
Nozioni di: assioma, concetto primitivo, definizione, teorema, dimostrazione. Dimostrazione diretta, dimostrazione per assurdo. Il sillogismo. Illustrazione di alcuni principali errori di tipo logico nelle inferenze (ambiguità del linguaggio, contraddizione in termini, “post hoc ergo propter hoc” e similari). Presentazione assiomatica dei numeri naturali (assiomi di Peano). Il principio di induzione. Esercizi sul principio di induzione. Esercizi sulle nozioni elementari di combinatoria. Il binomio di Newton. Rudimenti di teoria degli insiemi. Relazioni di equivalenza e d'ordine. Costruzione degli interi relativi. Proprietà di anello di Z. Costruzione dei numeri razionali. Proprietà di campo di Q. Costruzione dei numeri reali come sezioni del campo razionale. R è un campo ordinato, archimedeo e continuo. Estremo superiore e inferiore di un sottoinsieme di R. Esercizi. Numeri complessi. Forma algebrica. Modulo di un numero complesso. Proprietà di campo di C. C non è un campo ordinato. Argomento di un numero complesso. Comportamento di modulo e argomento nella moltiplicazione di due numeri complessi. Esercizi. Forma trigonometrica di un numero complesso. Potenza di un numero complesso. Formule di De Moivre. Estrazione della radice n-esima di un numero complesso. Equazioni algebriche. Chiusura algebrica di C. Cardinalità di un insieme. Cardinalità del numerabile e del continuo. Distanza e spazi metrici. Esempi. Nozioni di topologia in spazi metrici. Topologia euclidea su R. Funzioni. Funzioni iniettive, suriettive, invertibili. Funzioni reali di variabile reale. Grafico di una funzione. Riepilogo di alcuni grafici di funzioni elementari. Successioni di numeri reali. Limite di una successione. Unicità del limite, teorema del confronto. Teoremi sulle proprietà algebriche dei limiti (limiti di somma, prodotto etc.). Limiti di successioni monotone. Numero di Nepero. Esempi ed esercizi. Successioni divergenti. Forme indeterminate. Esempi. Limiti notevoli. Esempi ed esercizi. Massimo e minimo limite di una successione. Proprietà caratteristiche. Esercizi. Limiti di funzione. Teorema ponte. Concetto di infinitesimo e di infinito. Notazione di Landau. Principio di sostituzione degli infinitesimi. Esempi ed esercizi. Funzioni continue. Discontinuità eliminabili, a salto, essenziali. Esempi. Teorema degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Esercizi. Sottoinsiemi compatti negli spazi metrici. Caratterizzazione dei compatti di R. Teorema di Weierstrass. Esempi ed esercizi. Caratterizzazione delle funzioni continue e invertibili definite su un intervallo chiuso. Derivata. Definizione. Significato geometrico della derivata. Derivabilità e continuità. Proprietà algebriche (derivata di somma, prodotto, rapporto). Esempi ed esercizi. Max e min relativi di funzioni derivabili. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange. Esempi ed esercizi. Derivata della funzione composta (regola della catena) e della funzione inversa. Esempi ed esercizi. Derivate successive. Classi Ck. Studio del segno della derivata prima. Concavità e convessità. Studio del segno della derivata seconda. Esempi ed esercizi.

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Prime nozioni sulle inferenze logiche e sul ragionamento matematico. Discussione di alcune fallacie logiche.
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Terminologia matematica di base; Il sillogismo e le fallacie; dimostrazione per assurdo; assiomi dei numeri naturali (di Peano); Principio di induzione; dimostrazioni per induzione;esercizi.
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Insiemi. Unione, intersezione, complementare, prodotto cartesiano. Relazioni. Relazioni di equivalenza. Relazioni d'ordine. Principio di inclusione-esclusione.
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Costruzione di R
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Estremo superiore ed estremo inferiore. Proprietà di campo ordinato, archimedeo e continuo di R. Esempi ed esercizi.
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Parte reale, parte immaginaria, coniugato, Modulo. Proprietà di campo di C (algebricamente chiuso). Forma trigonometrica. Prodotto di due numeri complessi in forma trigonometrica.
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Numeri complessi (continua). C non è un corpo ordinato. Estrazione delle radici n-esime dell'unità. Fattorizzazioni notevoli di polinomi a coefficienti in R. Esempi ed esercizi.
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Equazioni algebriche. Cenni sulla risoluzione delle equazioni algebriche di terzo grado per radicali. Esercizi sui numeri complessi.
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Spazi metrici. Distanza. Distanza euclidea su R e C.
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Topologia negli spazi metrici. Sfere aperte. Intorni.
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Punti di accumulazione. Limite di successione in R. Esempi. Limite in uno spazio metrico. Unicità del limite. Teorema della permanenza del segno (prima e seconda versione).
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Teorema del confronto. Teorema di regolarità delle successioni monotone. Esempi ed esercizi. Numero di Nepero.
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