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Analisi Matematica 2 - Uniclam

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Prof. Antonio Corbo Esposito - Ingegneria Industriale - Università di Cassino e del Lazio Meridionale
Spazi vettoriali su R o C .Definizione e prime proprietà. Nozione di dipendenza lineare. Parte libera. Sistema di generatori. Spazi vettoriali di dimensione finita. Base. Teorema della dimensione. Prodotto scalare canonico in Rn. Sottospazi. Span. Proiezione su un sottospazio. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Matrici. Prodotto matriciale. Matrici quadrate come esempio di algebra non commutativa. Determinante di una matrice quadrata. Definizione. Formule di Laplace. Proprietà del determinante. Matrici invertibili. Dipendenza lineare delle righe (o colonne) di una matrice non invertibile. Teorema di Binet. Rango di una matrice. Definizioni e proprietà. Determinazione del rango di una matrice. Sistemi lineari. Metodo di eliminazione di Gauss. Teorema di Rouché – Capelli. Matrici e applicazioni lineari. Matrice associata a una applicazione lineare. Cambiamento di base. Cambiamento della matrice associata a un endomorfismo mediante un cambiamento di base. Autovalori e autovettori di una matrice quadrata. Polinomio Caratteristico. Matrici simmetriche. Teorema spettrale (senza dim.). Coniche. Classificazione delle coniche. Coniche degeneri. Cenni sulle proprietà geometriche delle coniche. Riconduzione dell'equazione alla forma canonica con un cambiamento di variabile affine. Funzioni di più variabili reali. Limiti. Continuità. Derivate parziali e direzionali. Gradiente. Differenziabilità di una funzione di più variabili. Teorema del differenziale totale. Punti stazionari. Max e min liberi. Matrice Hessiana. Teorema di Schwarz. Max e min liberi (cond. suff.) Teorema delle contrazioni. Equazioni differenziali ordinarie. Definizioni. Problema di Cauchy. Teorema di esistenza e uncità locale per il problema di Cauchy (Picard). Cenni sul metodo della poligonale. Esercizi sulle eq. diff. lineari a coefficienti costanti. Esercizi su eq. diff. riconducibili a eq. lineari mediante sostituzione.

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Presentazione del corso.Definizione di Campo. Esempi: Q, R, C, Z/p (p primo).Definizione di Spazio vettoriale. Esempi. Sottospazio vettoriale
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Combinazione lineare. Dipendenza lineare. Span. Sistema di generatori. Parte Libera. Base. Matrici. Prodotto matriciale. Prodotto scalare canonico in Rn.
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Teorema della dimensione. Teorema del completamento di una base. Esercizi ed esempi Definizione di prodotto scalare (definito positivo). Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Esercizi ed esempi.
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Angolo tra due vettori. Vettori ortogonali. Indipendenza dei vettori ortogonali. Proiezione su un sottospazio di dimensione finita. Proprietà della proiezione. Formula della proiezione rispetto a una ...
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Formula di Grassmann. Rette in R2. Rette e piani in R3.
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Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. metodo del pivot.
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Metodo del pivot (continua). Determinante. Definizione. Formula di Laplace. Proprietà del determinante.

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Esercizi su span e basi ortogonali. Sottospazi affini (in particolare rette in R2 ed R3).
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Passaggio da equazioni cartesiane a parametriche (e viceversa) per rette in R3. Distanza di due rette (sghembe) di R3. Esercizi. Def. di minore. Rango di una matrice.
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Caratterizzazione del rango di una matrice. Variante del metodo del pivot. Esempi ed esercizi.

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Metodo di Gauss. Sistemi lineari. Rouché-Capelli.Struttura spazio affine soluzioni. Esempi. Cenni su regola di Cramer.

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Dimostrazione regola Cramer. Teorema Binet. Esercizi.
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Applicazioni lineari tra spazi di dimensione finita. Ker. Coordinate. Cambiamento di base. Matrice di passaggio.

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Omomorfismo. Polinomio caratteristico. Autovettore, autovalore, autospazio. Matrici diagonali e triangolari. Accenni matrici ortogonali.
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Lemma di Schur. Esempi. Teorema Spettrale. Metodo di ricerca autovalori e autovettori di matrici ortogonali.
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Esercizi coniche. Matrice simmetrica. Topologia: definizione intorno.

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Derivate parziali. Equazioni differenziali. Differenziabilità. Gradiente. Esercizi.

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Esempi Differenziabilità. Teorema del differenziale del totale. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Formula Taylor I ordine.
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Equazioni differenziali lineari. Equazioni a variabili separabili. Esempi e esercizi.

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