analisi matematica 1

Corso di Analisi Matematica 1

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pubblicato 17/03/2017

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Corsi di Laurea e di Laurea Magistrale in Matematica Anno accademico 2016/2017
Prof.Massimo Gobbino - Università di Pisa - Dipartimento di Matematica
Ore di Lezione: 120

Programma del corso: users.dma.unipi.it/~gobbino/Home...a.pdf
Stampato integrale delle lezioni (sostanzialmente sono l'unione dei pdf delle singole lezioni): users.dma.unipi.it/~gobbino/Home...1.pdf
Informazioni sui video: users.dma.unipi.it/~gobbino/Home...AD_Vi

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1) Logica elementare (a livello intuitivo): proposizioni, predicati, quantificatori. Negazione di una proposizione, and e vel, tavole di verità. Lezione del 23/09/2016 89 visualizzazioni link a risorsa esterna download
2) Implicazione tra proposizioni e sua negazione. Insiemi e notazioni insiemistiche. Insieme delle parti. Prodotto cartesiano. Lezione del 23/09/2016 25 visualizzazioni link a risorsa esterna download
3) Funzioni tra insiemi: definizione operativa e formale. Grafico, composizione, iniettività, surgettività, funzione inversa. Immagine e controimmagine Lezione del 26/09/2016 24 visualizzazioni link a risorsa esterna download
4) Principio di induzione. Dimostrazione di uguaglianze e disuguaglianze mediante il principio di induzione. Disuguaglianza di Bernoulli. Lezione del 26/09/2016 23 visualizzazioni link a risorsa esterna download
5) Insiemi numerici. Definizione assiomatica dei numeri reali (assiomi algebrici, di ordinamento, di continuità). Enunciato dei teoremi di esistenza ed Lezione del 28/09/2016 18 visualizzazioni link a risorsa esterna download
6) Maggioranti, minoranti, massimo, minimo, estremo inferiore e superiore. Dimostrazione dell'esistenza di inf e sup. Caratterizzazione di inf e sup. Lezione del 28/09/2016 21 visualizzazioni link a risorsa esterna download
7) Funzioni reali: monotonia, funzioni pari/dispari, funzioni periodiche. Minimo periodo. Funzioni elemerntari: potenze a esponente intero positivo e lor Lezione del 29/09/2016 18 visualizzazioni link a risorsa esterna download
8) Funzioni elementari: esponenziali e logaritmi. Discussione di cosa bisognerebbe dimostrare per avere una definizione rigorosa. Operazioni sui grafici. Lezione del 29/09/2016 22 visualizzazioni link a risorsa esterna download
9) Funzioni elementari: funzioni trigonometriche e relative inverse. Lezione del 03/10/2016 26 visualizzazioni link a risorsa esterna download
10) Esercizi riassuntivi sulle funzioni elementari. Lezione del 03/10/2016 18 visualizzazioni link a risorsa esterna download
11) Significato dei termini \'definitivamente\' e \'frequentemente\'. Definizione di successione e sue rappresentazioni. Definizioni di li Lezione del 05/10/2016 17 visualizzazioni link a risorsa esterna download
12) Primi esempi e risultati sui limiti di successione: permanenza del segno, unicità del limite, teorema di confronto a 2, teorema di confronto a 3 (teo Lezione del 05/10/2016 16 visualizzazioni link a risorsa esterna download
13) Teorema delle successioni monotone. Il numero e (monotonia e limitatezza della successione che lo definisce). Lezione del 06/10/2016 15 visualizzazioni link a risorsa esterna download
14) Retta reale estesa. Enunciato del teorema algebrico sui limiti di successione. Limitatezza delle successioni con limite reale. Dimostrazione di alcuni Lezione del 06/10/2016 17 visualizzazioni link a risorsa esterna download
15) Limiti dell'esponenziale e della radice n-esima di una costante. Criterio della radice, del rapporto e rapporto -> radice per limiti di succession Lezione del 10/10/2016 15 visualizzazioni link a risorsa esterna download
16) Confronto tra ordini di infinito. Esercizi sui limiti che sfruttano le tecniche viste finora. Lezione del 10/10/2016 17 visualizzazioni link a risorsa esterna download
17) Limiti di funzioni: definizioni. Lezione del 12/10/2016 23 visualizzazioni link a risorsa esterna download
18) Definizione di funzione continua in un punto ed in un insieme. Enunciato della continuità delle funzioni ottenute a partire da quelle elementari. Enu Lezione del 12/10/2016 18 visualizzazioni link a risorsa esterna download
19) Criterio successioni -> funzioni. Dimostrazione dei limiti notevoli classici. Lezione del 13/10/2016 14 visualizzazioni link a risorsa esterna download
20) Criterio funzioni -> successioni. Trucco del passaggio all'esponenziale. Esempi di limiti calcolati sfruttando i limiti notevoli. Lezione del 13/10/2016 17 visualizzazioni link a risorsa esterna download
21) Sottosuccessioni e loro limiti. Utilizzo di successioni e sottosuccessioni per mostrare la non esistenza di limiti di funzioni e successioni. Lezione del 17/10/2016 16 visualizzazioni link a risorsa esterna download
22) Esercizi misti sui limiti: trucco del valore assoluto, razionalizzazioni di radici, limiti in punti diversi da zero/infinito, limiti di sommatorie. Lezione del 17/10/2016 13 visualizzazioni link a risorsa esterna download
23) Definizione di o piccolo e di equivalenza asintotica. Principali proprietà di o piccolo. Lezione del 19/10/2016 14 visualizzazioni link a risorsa esterna download
24) Sviluppini delle funzioni elementari. Utilizzo degli sviluppini per il calcolo di limiti. Lezione del 19/10/2016 16 visualizzazioni link a risorsa esterna download
25) Rapporto incrementale, derivata e differenziale. Retta tangente ad un grafico. Equivalenza tra le definizioni e interpretazione geometrica. Limiti not Lezione del 20/10/2016 15 visualizzazioni link a risorsa esterna download
26) Continuità delle funzioni derivabili. Teoremi algebrici sulle derivate. Derivata della composizione e dell'inversa (enunciati). Derivata delle fun Lezione del 20/10/2016 16 visualizzazioni link a risorsa esterna download
27) Enunciato del teorema di De L'Hôpital. Esempi in cui si può e non si può applicare. Pericoli del "fare i limiti metà per volta" o mediante equival Lezione del 24/10/2016 17 visualizzazioni link a risorsa esterna download
28) Enunciato della formula di Taylor con resto di Peano e centro in 0. Dimostrazione degli sviluppi di Taylor delle funzioni elementari. Lezione del 24/10/2016 17 visualizzazioni link a risorsa esterna download
29) Enunciato della formula di Taylor con resto di Peano e centro in un punto qualunque. Polinomio di Taylor della somma e del prodotto di due funzioni. E Lezione del 26/10/2016 12 visualizzazioni link a risorsa esterna download
30) Polinomio di Taylor della composizione di due funzioni. Esempi di calcolo di sviluppi di Taylor. Lezione del 26/10/2016 13 visualizzazioni link a risorsa esterna download
31) Funzioni iperboliche. Lezione del 27/10/2016 14 visualizzazioni link a risorsa esterna download
32) Definizione di ordine di infinitesimo/infinito e parte principale. Esercizi misti sui limiti. Lezione del 27/10/2016 12 visualizzazioni link a risorsa esterna download
33) Serie numeriche: definizione come limite delle somme parziali. Serie telescopiche e geometriche. Proprietà algebriche. Lezione del 02/11/2016 12 visualizzazioni link a risorsa esterna download
34) Condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica. Serie a termini di segno costante. Criteri di convergenza: confronto, radice, rapporto Lezione del 02/11/2016 12 visualizzazioni link a risorsa esterna download
35) Criteri di convergenza per serie numeriche: confronto asintotico (casi standard e casi limite). Serie armonica generalizzata (due dimostrazioni). Crit Lezione del 03/11/2016 13 visualizzazioni link a risorsa esterna download
36) Esempi di studio della convergenza di serie numeriche a termini di segno costante, anche parametriche. Lezione del 03/11/2016 13 visualizzazioni link a risorsa esterna download
37) Criterio di Leibnitz per le serie a segno alterno. Assoluta convergenza. Teorema dei carabinieri per le serie. Esempi di serie convergenti ma non asso Lezione del 07/11/2016 12 visualizzazioni link a risorsa esterna download
38) Esercizi riassuntivi sulle serie, anche parametriche. Il numero e (e la funzione esponenziale) come somma di una serie. Lezione del 07/11/2016 12 visualizzazioni link a risorsa esterna download
39) Teorema di esistenza degli zeri: enunciato e tre possibili dimostrazioni. Teorema dei valori intermedi. Esempi di applicazione allo studio di equazion Lezione del 09/11/2016 15 visualizzazioni link a risorsa esterna download
40) Studio locale di una funzione nell'intorno di un punto stazionario: criterio delle derivate successive e sua interpretazione in termini di polinom Lezione del 09/11/2016 12 visualizzazioni link a risorsa esterna download
41) Teoremi che legano la monotonia di una funzione al segno della sua derivata prima. Lezione del 10/11/2016 10 visualizzazioni link a risorsa esterna download
42) Definizioni di max/min e di punti di max/min. Enunciato del teorema di Weierstrass in un intervallo. Ricerca dei punti di max/min: punti stazionari in Lezione del 10/11/2016 11 visualizzazioni link a risorsa esterna download
43) Esercizi sulle funzioni che sfruttano il teorema di esistenza degli zeri, lo studio locale, il teorema di Weierstrass e le sue varianti. Lezione del 14/11/2016 11 visualizzazioni link a risorsa esterna download
44) Esercizi sulle funzioni che sfruttano il teorema di esistenza degli zeri, lo studio locale, il teorema di Weierstrass e le sue varianti. Lezione del 14/11/2016 13 visualizzazioni link a risorsa esterna download
45) Schema classico per lo studio di funzioni: simmetrie, continuità, limiti agli estremi, zeri e segno, monotonia, punti di massimo/minimo locale/global Lezione del 16/11/2016 12 visualizzazioni link a risorsa esterna download
46) Classi di regolarità, asintoti orizzontali, verticali, obliqui. Esempio di disequazione risolta mediante uno studio di funzioni. Lezione del 16/11/2016 14 visualizzazioni link a risorsa esterna download
47) Funzioni lipschitziane. Legami tra lipschitzianità e limitatezza della derivata prima. Lezione del 17/11/2016 11 visualizzazioni link a risorsa esterna download
48) Enunciato della Formula di Taylor con resto di Lagrange. Applicazioni classiche: approssimazione di funzioni, dimostrazione di disuguaglianze, converg Lezione del 17/11/2016 12 visualizzazioni link a risorsa esterna download
49) Applicazioni dello studio di funzioni: studio di equazioni parametriche, disequazioni, monotonia di successioni. Rischi legati al confronto di due gra Lezione del 21/11/2016 14 visualizzazioni link a risorsa esterna download
50) Ulteriori esercizi sullo studio di funzioni. Disuguaglianze classiche (confronti tra funzioni elementari e loro polinomi di Taylor) che si dimostrano Lezione del 21/11/2016 13 visualizzazioni link a risorsa esterna download
51) Esempi di studi di funzione che richiedono lo studio di opportune funzioni ausiliarie. Lezione del 23/11/2016 13 visualizzazioni link a risorsa esterna download
52) Disuguaglianze di lipschitzianità. Ulteriori esempi di studi di funzione. Lezione del 23/11/2016 15 visualizzazioni link a risorsa esterna download
53) Esempio di funzione non costante con tutte le derivate nulle in un punto. L'esistenza delle derivate fino ad un certo ordine non è condizione nece Lezione del 24/11/2016 13 visualizzazioni link a risorsa esterna download
54) Esempi di studio di funzioni dipendenti da un parametro. Come dimostrare con i limiti che una successione è definitivamente monotona. Lezione del 24/11/2016 11 visualizzazioni link a risorsa esterna download
55) Introduzione agli integrali: notazioni, significato geometrico, funzioni a gradino, definizione di integrale inferiore e superiore. Funzione di Dirich Lezione del 28/11/2016 11 visualizzazioni link a risorsa esterna download
56) Enunciato dell'integrabilità delle funzioni monotone e delle funzioni continue. Prime proprietà dell'integrale: linearità, monotonia, additivi Lezione del 28/11/2016 12 visualizzazioni link a risorsa esterna download
57) Definizione di primitiva e di funzione integrale. Due primitive in un intervallo differiscono per una costante. Teorema della media integrale. Teorema Lezione del 30/11/2016 11 visualizzazioni link a risorsa esterna download
58) Dimostrazione dell'integrabilità delle funzioni monotone. Discorso sul +c negli integrali. Primitive elementari. Primi esempi di calcolo esplicito Lezione del 30/11/2016 12 visualizzazioni link a risorsa esterna download
59) Formula di integrazione per parti. Esempi classici di applicazione. Tecnica del grande ritorno e dell'1 nascosto. Esempio paradossale utilizzando Lezione del 01/12/2016 12 visualizzazioni link a risorsa esterna download
60) Formula di integrazione per sostituzione. Esempi classici di applicazione. Primitive di potenze di seno e coseno. Lezione del 01/12/2016 11 visualizzazioni link a risorsa esterna download
61) Integrazione delle funzioni razionali: descrizione dell'algoritmo, integrazione dei fratti semplici. Lezione del 07/12/2016 10 visualizzazioni link a risorsa esterna download
62) Precisazioni sui passi dell'algoritmo per integrare le funzioni razionali: fattorizzazione reale di polinomi, dimostrazione della decomposizione i Lezione del 07/12/2016 13 visualizzazioni link a risorsa esterna download
63) Sostituzioni razionalizzanti: funzioni razionali di esponenziali, radici qualunque di funzioni razionali di primo grado, radici quadrate di polinomi Lezione del 12/12/2016 11 visualizzazioni link a risorsa esterna download
64) Sostituzioni razionalizzanti: formule parametriche per le funzioni razionali di seno e coseno. Interpretazione delle sostituzioni razionalizzanti in t Lezione del 12/12/2016 13 visualizzazioni link a risorsa esterna download
65) Utilizzo delle simmetrie per il calcolo di integrali di funzioni pari/dispari. Integrali del quadrato di seno e coseno tra estremi multipli di un ango Lezione del 14/12/2016 14 visualizzazioni link a risorsa esterna download
66) Introduzione agli integrali impropri: definizione nel caso monoproblema e spezzamento nel caso con più problemi. Comportamento degli integrali improp Lezione del 14/12/2016 14 visualizzazioni link a risorsa esterna download
67) Criteri di convergenza per integrali impropri: confronto, confronto asintotico (casi standard e casi limite), assoluta integrabilità. Primi esempi di Lezione del 15/12/2016 10 visualizzazioni link a risorsa esterna download
68) Integrali impropri con problemi in punti diversi dall'origine. Ulteriori esempi di studio della convergenza di integrali impropri. Lezione del 15/12/2016 16 visualizzazioni link a risorsa esterna download
69) Integrali oscillanti: criterio alla Dirichlet (trucco dell'integrazione per parti) e metodo dei triangolini (o rettangolini). Esempi classici: int Lezione del 19/12/2016 13 visualizzazioni link a risorsa esterna download
70) Confronto serie-integrali e applicazioni (convergenza di serie, stima di sommatorie, stima delle code di serie). Lezione del 19/12/2016 11 visualizzazioni link a risorsa esterna download
71) Lemma di Abel (sommazione per parti). Criterio di Dirichlet per la convergenza di una serie. Alcuni esempi di utilizzo border-line dei numeri compless Lezione del 20/12/2016 14 visualizzazioni link a risorsa esterna download
72) Dipendenza di un integrale proprio/improprio dall'insieme di integrazione. Funzione Gamma di Eulero. Esempi di stime di primitive e code di integr Lezione del 20/12/2016 13 visualizzazioni link a risorsa esterna download
73) Esercizi riassuntivi sul programma finora svolto che riguardano funzioni definite mediante integrali. Lezione del 20/12/2016 13 visualizzazioni link a risorsa esterna download

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Allegati (73)
1) Logica elementare (a livello intuitivo): proposizioni, predicati, quantificatori. Negazione di una p 4 downloads download
2) Implicazione tra proposizioni e sua negazione. Insiemi e notazioni insiemistiche. Insieme delle part 2 downloads download
3) Funzioni tra insiemi: definizione operativa e formale. Grafico, composizione, iniettività, surgettiv 2 downloads download
4) Principio di induzione. Dimostrazione di uguaglianze e disuguaglianze mediante il principio di induz 2 downloads download
5) Insiemi numerici. Definizione assiomatica dei numeri reali (assiomi algebrici, di ordinamento, di co 2 downloads download
6) Maggioranti, minoranti, massimo, minimo, estremo inferiore e superiore. Dimostrazione dell'esist 2 downloads download
7) Funzioni reali: monotonia, funzioni pari/dispari, funzioni periodiche. Minimo periodo. Funzioni elem 2 downloads download
8) Funzioni elementari: esponenziali e logaritmi. Discussione di cosa bisognerebbe dimostrare per avere 2 downloads download
9) Funzioni elementari: funzioni trigonometriche e relative inverse. 2 downloads download
10) Esercizi riassuntivi sulle funzioni elementari. 2 downloads download
11) Significato dei termini \'definitivamente\' e \'frequentemente\'. Definizione di suc 2 downloads download
12) Primi esempi e risultati sui limiti di successione: permanenza del segno, unicità del limite, teorem 2 downloads download
13) Teorema delle successioni monotone. Il numero e (monotonia e limitatezza della successione che lo de 2 downloads download
14) Retta reale estesa. Enunciato del teorema algebrico sui limiti di successione. Limitatezza delle suc 2 downloads download
15) Limiti dell'esponenziale e della radice n-esima di una costante. Criterio della radice, del rapp 2 downloads download
16) Confronto tra ordini di infinito. Esercizi sui limiti che sfruttano le tecniche viste finora. 2 downloads download
17) Limiti di funzioni: definizioni. 2 downloads download
18) Definizione di funzione continua in un punto ed in un insieme. Enunciato della continuità delle funz 2 downloads download
19) Criterio successioni -> funzioni. Dimostrazione dei limiti notevoli classici. 2 downloads download
20) Criterio funzioni -> successioni. Trucco del passaggio all'esponenziale. Esempi di limiti calco 2 downloads download
21) Sottosuccessioni e loro limiti. Utilizzo di successioni e sottosuccessioni per mostrare la non esist 2 downloads download
22) Esercizi misti sui limiti: trucco del valore assoluto, razionalizzazioni di radici, limiti in punti 2 downloads download
23) Definizione di o piccolo e di equivalenza asintotica. Principali proprietà di o piccolo. 2 downloads download
24) Sviluppini delle funzioni elementari. Utilizzo degli sviluppini per il calcolo di limiti. 2 downloads download
25) Rapporto incrementale, derivata e differenziale. Retta tangente ad un grafico. Equivalenza tra le de 3 downloads download
26) Continuità delle funzioni derivabili. Teoremi algebrici sulle derivate. Derivata della composizione 3 downloads download
27) Enunciato del teorema di De L'Hôpital. Esempi in cui si può e non si può applicare. Pericoli del 2 downloads download
28) Enunciato della formula di Taylor con resto di Peano e centro in 0. Dimostrazione degli sviluppi di 2 downloads download
29) Enunciato della formula di Taylor con resto di Peano e centro in un punto qualunque. Polinomio di Ta 2 downloads download
30) Polinomio di Taylor della composizione di due funzioni. Esempi di calcolo di sviluppi di Taylor. 2 downloads download
31) Funzioni iperboliche. 2 downloads download
32) Definizione di ordine di infinitesimo/infinito e parte principale. Esercizi misti sui limiti. 2 downloads download
33) Serie numeriche: definizione come limite delle somme parziali. Serie telescopiche e geometriche. Pro 2 downloads download
34) Condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica. Serie a termini di segno costante. C 2 downloads download
35) Criteri di convergenza per serie numeriche: confronto asintotico (casi standard e casi limite). Seri 2 downloads download
36) Esempi di studio della convergenza di serie numeriche a termini di segno costante, anche parametrich 2 downloads download
37) Criterio di Leibnitz per le serie a segno alterno. Assoluta convergenza. Teorema dei carabinieri per 2 downloads download
38) Esercizi riassuntivi sulle serie, anche parametriche. Il numero e (e la funzione esponenziale) come 2 downloads download
39) Teorema di esistenza degli zeri: enunciato e tre possibili dimostrazioni. Teorema dei valori interme 2 downloads download
40) Studio locale di una funzione nell'intorno di un punto stazionario: criterio delle derivate succ 2 downloads download
41) Teoremi che legano la monotonia di una funzione al segno della sua derivata prima. 2 downloads download
42) Definizioni di max/min e di punti di max/min. Enunciato del teorema di Weierstrass in un intervallo. 2 downloads download
43) Esercizi sulle funzioni che sfruttano il teorema di esistenza degli zeri, lo studio locale, il teore 2 downloads download
44) Esercizi sulle funzioni che sfruttano il teorema di esistenza degli zeri, lo studio locale, il teore 2 downloads download
45) Schema classico per lo studio di funzioni: simmetrie, continuità, limiti agli estremi, zeri e segno, 2 downloads download
46) Classi di regolarità, asintoti orizzontali, verticali, obliqui. Esempio di disequazione risolta medi 2 downloads download
47) Funzioni lipschitziane. Legami tra lipschitzianità e limitatezza della derivata prima. 2 downloads download
48) Enunciato della Formula di Taylor con resto di Lagrange. Applicazioni classiche: approssimazione di 2 downloads download
49) Applicazioni dello studio di funzioni: studio di equazioni parametriche, disequazioni, monotonia di 2 downloads download
50) Ulteriori esercizi sullo studio di funzioni. Disuguaglianze classiche (confronti tra funzioni elemen 2 downloads download
51) Esempi di studi di funzione che richiedono lo studio di opportune funzioni ausiliarie. 2 downloads download
52) Disuguaglianze di lipschitzianità. Ulteriori esempi di studi di funzione. 2 downloads download
53) Esempio di funzione non costante con tutte le derivate nulle in un punto. L'esistenza delle deri 2 downloads download
54) Esempi di studio di funzioni dipendenti da un parametro. Come dimostrare con i limiti che una succes 2 downloads download
55) Introduzione agli integrali: notazioni, significato geometrico, funzioni a gradino, definizione di i 2 downloads download
56) Enunciato dell'integrabilità delle funzioni monotone e delle funzioni continue. Prime proprietà 2 downloads download
57) Definizione di primitiva e di funzione integrale. Due primitive in un intervallo differiscono per un 2 downloads download
58) Dimostrazione dell'integrabilità delle funzioni monotone. Discorso sul +c negli integrali. Primi 2 downloads download
59) Formula di integrazione per parti. Esempi classici di applicazione. Tecnica del grande ritorno e del 2 downloads download
60) Formula di integrazione per sostituzione. Esempi classici di applicazione. Primitive di potenze di s 2 downloads download
61) Integrazione delle funzioni razionali: descrizione dell'algoritmo, integrazione dei fratti sempl 2 downloads download
62) Precisazioni sui passi dell'algoritmo per integrare le funzioni razionali: fattorizzazione reale 2 downloads download
63) Sostituzioni razionalizzanti: funzioni razionali di esponenziali, radici qualunque di funzioni razi 2 downloads download
64) Sostituzioni razionalizzanti: formule parametriche per le funzioni razionali di seno e coseno. Inter 2 downloads download
65) Utilizzo delle simmetrie per il calcolo di integrali di funzioni pari/dispari. Integrali del quadrat 2 downloads download
66) Introduzione agli integrali impropri: definizione nel caso monoproblema e spezzamento nel caso con p 2 downloads download
67) Criteri di convergenza per integrali impropri: confronto, confronto asintotico (casi standard e casi 2 downloads download
68) Integrali impropri con problemi in punti diversi dall'origine. Ulteriori esempi di studio della 2 downloads download
69) Integrali oscillanti: criterio alla Dirichlet (trucco dell'integrazione per parti) e metodo dei 2 downloads download
70) Confronto serie-integrali e applicazioni (convergenza di serie, stima di sommatorie, stima delle cod 2 downloads download
71) Lemma di Abel (sommazione per parti). Criterio di Dirichlet per la convergenza di una serie. Alcuni 2 downloads download
72) Dipendenza di un integrale proprio/improprio dall'insieme di integrazione. Funzione Gamma di Eul 2 downloads download
73) Esercizi riassuntivi sul programma finora svolto che riguardano funzioni definite mediante integrali 3 downloads download

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Lezione del 12/12/2016

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