Corso di Analisi Matematica 2

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pubblicato 21/03/2017

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Corso di Laurea in Matematica Anno accademico 2015/2016
Prof.Massimo Gobbino - Università di Pisa - Dipartimento di Matematica
Ore di Lezione: 120
Questo corso è pensato per gli studenti del Corso di Laurea in Matematica. Certamente è adatto anche per studenti di altri corsi di studi, purché sufficientemente motivati e privi di problemi sui preliminari (cioè precorso, Analisi 1 e Algebra Lineare). Ad esempio è sicuramente adatto per chi ha seguito con successo il corrispondente corso di Analisi Matematica 1 (anno 2014/2015), o per chi ha già seguito con noia i corsi di Analisi 2 per ingegneria. Per tutti gli altri, il consiglio è di partire con una delle versioni edulcorate, ad esempio il corso di Analisi 2 del 2013/2014.

Stampato integrale lezioni (Volume 1 - Lezioni 1/47)
users.dma.unipi.it/~gobbino/Home...1.pdf
Stampato integrale lezioni (Volume 2 - Lezioni 48/86)
users.dma.unipi.it/~gobbino/Home...2.pdf
Stampato integrale lezioni (Volume 3 - Lezioni 87/130)
users.dma.unipi.it/~gobbino/Home...3.pdf
Stampato integrale lezioni (Appendice di Teoria della Misura)
users.dma.unipi.it/~gobbino/Home...M.pdf
Informazioni sui video: users.dma.unipi.it/~gobbino/Home...AD_Vi

Lezioni nascondi descrizione
1) Introduzione al corso. Struttura euclidea, metrica e topologia nello spazio a n dimensioni. Funzioni di n variabili e loro grafico. Metodi per visuali Lezione del 23/09/2015 95 visualizzazioni link a risorsa esterna download
2) Definizioni di limite in un punto per funzioni di più variabili. Funzioni continue. Primi esempi di limite. Lezione del 23/09/2015 62 visualizzazioni link a risorsa esterna download
3) Limiti all'infinito per funzioni di più variabili. Esempi di limiti per funzioni di più variabili: esistenza via stime+carabinieri o coordinate po Lezione del 25/09/2015 43 visualizzazioni link a risorsa esterna download
4) Ulteriori esempi di limiti per funzioni di più variabili. Lezione del 25/09/2015 45 visualizzazioni link a risorsa esterna download
5) Derivate parziali e direzionali e loro significato geometrico. Differenziale per funzioni di più variabili. Esempi di funzioni che hanno tutte le der Lezione del 29/09/2015 49 visualizzazioni link a risorsa esterna download
6) Una funzione differenziabile è continua e ha tutte le derivate direzionali. Formula per le derivate direzionali. Gradiente e sua interpretazione geom Lezione del 29/09/2015 46 visualizzazioni link a risorsa esterna download
7) Teorema del differenziale totale: caso classico e caso con ipotesi più minimaliste. Prodotto di matrici e differenziale della funzione composta. Lezione del 30/09/2015 47 visualizzazioni link a risorsa esterna download
8) Lipschitzianità delle funzioni lineari. Chain rule e funzioni composte in più variabili: esempi di applicazione. Lezione del 30/09/2015 46 visualizzazioni link a risorsa esterna download
9) Derivate successive per funzioni di più variabili. Teorema di inversione dell'ordine di derivazione: enunciato, dimostrazione, controesempi. Lezione del 02/10/2015 43 visualizzazioni link a risorsa esterna download
10) Formalismo dei multi-indici. Sviluppo di Taylor in più variabili e idea della dimostrazione nel caso con resto di Lagrange. Lezione del 02/10/2015 41 visualizzazioni link a risorsa esterna download
11) Teorema di Lagrange direzionale per funzioni di più variabili. Le funzioni con gradiente nullo sono costanti sui connessi. Limitatezza del gradiente Lezione del 06/10/2015 52 visualizzazioni link a risorsa esterna download
12) Dimostrazione della formula di Taylor in più variabili con resto alla Peano. Ricapitolazione sulle forme quadratiche ed i metodi per determinarne la Lezione del 06/10/2015 45 visualizzazioni link a risorsa esterna download
13) Fine ripasso sulle forme quadratiche. Stima dal basso per forme quadratiche definite positive. Matrice Hessiana. Segnatura della matrice Hessiana e co Lezione del 07/10/2015 52 visualizzazioni link a risorsa esterna download
14) Dimostrazione del criterio che lega la segnatura dell'hessiana alla natura di un punto stazionario. Esempi di studio di punti stazionari. Lezione del 07/10/2015 50 visualizzazioni link a risorsa esterna download
15) Compattezza e teorema di Weierstrass in più variabili. Ricerca dei punti di massimo/minimo. Nei punti di massimo/minimi interni il gradiente (se esis Lezione del 09/10/2015 45 visualizzazioni link a risorsa esterna download
16) Primi esempi di problemi di massimo/minimo su insiemi compatti: metodo delle linee di livello e metodo di parametrizzazione del bordo. Lezione del 09/10/2015 43 visualizzazioni link a risorsa esterna download
17) Esercizi sul calcolo di gradiente e matrice hessiana in n variabili. Esercizi sulla chain rule: formula generale per le soluzioni dell'equazione d Lezione del 13/10/2015 38 visualizzazioni link a risorsa esterna download
18) Metodo dei moltiplicatori di Lagrange (caso di un solo moltiplicatore): descrizione del metodo e primi esempi di applicazione. Lezione del 14/10/2015 42 visualizzazioni link a risorsa esterna download
19) Giustificazione intuitiva del metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Utilizzo misto di moltiplicatori ed altre tecniche. Caratterizzazione di autovett Lezione del 14/10/2015 42 visualizzazioni link a risorsa esterna download
20) Metodo dei moltiplicatori di Lagrange (caso con più moltiplicatori): descrizione del metodo ed esempi di applicazione. Lezione del 16/10/2015 45 visualizzazioni link a risorsa esterna download
21) Esercizi sui massimi/minimi per funzioni di più variabili su insiemi compatti. Metodo di sostituzione del vincolo. Massimi/minimi di funzioni con val Lezione del 16/10/2015 43 visualizzazioni link a risorsa esterna download
22) Teorema di Weierstrass generalizzato su insiemi non compatti. Esempi di problemi di massimo/minimo su insiemi non compatti. Lezione del 20/10/2015 62 visualizzazioni link a risorsa esterna download
23) Dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra (via Weierstrass generalizzato e studio locale). Ulteriori esempi di massimi/minimi su insiemi Lezione del 20/10/2015 36 visualizzazioni link a risorsa esterna download
24) Sottoinsiemi convessi e funzioni convesse in più variabili. Punti estremali di insiemi convessi e punti di massimo di funzioni convesse. La convessit Lezione del 21/10/2015 42 visualizzazioni link a risorsa esterna download
25) Equivalenza tra due definizioni di locale limitatezza. Le funzioni convesse sono localmente limitate nella parte interna dell'insieme di definizio Lezione del 21/10/2015 44 visualizzazioni link a risorsa esterna download
26) Convessità e continuità: le funzioni convesse sono continue e localmente lipschitziane nella parte interna dell'insieme di definizione. Convessità Lezione del 23/10/2015 44 visualizzazioni link a risorsa esterna download
27) Esempi di funzioni convesse in due variabili. Esempio non banale di utilizzo dei moltiplicatori di Lagrange. Lezione del 23/10/2015 41 visualizzazioni link a risorsa esterna download
28) Introduzione agli integrali doppi: notazioni, significato geometrico, step functions, integrale inferiore e superiore, criterio di integrabilità. Lezione del 27/10/2015 44 visualizzazioni link a risorsa esterna download
29) Descrizione della formula di riduzione per integrali doppi su rettangoli e su insiemi normali. Analogia con il double counting. Esempi di applicazione Lezione del 27/10/2015 43 visualizzazioni link a risorsa esterna download
30) Proprietà basilari dell'integrale (linearità, monotonia, integrale del prodotto e del valore assoluto, ...) analoghe a quelle valide in una variab Lezione del 28/10/2015 43 visualizzazioni link a risorsa esterna download
31) Formula di spezzamento in ipotesi di integrabilità. Insiemi misurabili e loro caratterizzazione. Misurabilità degli insiemi normali. Integrabilità Lezione del 28/10/2015 45 visualizzazioni link a risorsa esterna download
32) Utilizzo delle coordinate polari per il calcolo di integrali doppi: descrizione della formula ed esempi di applicazione. Lezione del 30/11/2015 43 visualizzazioni link a risorsa esterna download
33) Formula generale per il cambio di variabili negli integrali doppi ed esempi classici di applicazione. Classi particolari di trasformazioni: traslazion Lezione del 30/11/2015 45 visualizzazioni link a risorsa esterna download
34) Integrali tripli: notazioni, significato fisico, definizione. Formula di riduzione sui parallelepipedi e su insiemi normali (integrazione per colonne) Lezione del 03/11/2015 45 visualizzazioni link a risorsa esterna download
35) Formula di riduzione per sezioni per gli integrali tripli. Utilizzo delle simmetrie per mostrare che certi integrali sono nulli, o comunque per sempli Lezione del 03/11/2015 44 visualizzazioni link a risorsa esterna download
36) Coordinate cilindriche e sferiche nello spazio. Cambi di variabile negli integrali tripli. Esempi di applicazione. Lezione del 04/11/2015 47 visualizzazioni link a risorsa esterna download
37) Solidi di rotazione: equazioni e formula per il volume. Calcolo del baricentro di figure piane /solide mediante integrali doppi/tripli. Teorema di Gul Lezione del 04/11/2015 45 visualizzazioni link a risorsa esterna download
38) Basi teoriche della formula di spezzamento per integrali multipli. Teorema della media integrale. Calcolo di momenti d'inerzia mediante integrali Lezione del 06/11/2015 43 visualizzazioni link a risorsa esterna download
39) Integrali di funzioni con valori assoluti. Esercizi riassuntivi sugli integrali multipli. Lezione del 06/11/2015 44 visualizzazioni link a risorsa esterna download
40) Dimostrazione della formula di cambio di variabili negli integrali multipli (parte prima): caso delle trasformazioni affini. Lezione del 10/11/2015 49 visualizzazioni link a risorsa esterna download
41) Dimostrazione della formula di cambio di variabili negli integrali multipli (parte seconda): riduzione al caso dei cubi piccoli, stima di un diffeomor Lezione del 10/11/2015 43 visualizzazioni link a risorsa esterna download
42) Dimostrazione della formula di cambio di variabili negli integrali multipli (parte terza): enunciato e dimostrazione di una disuguaglianza nel caso de Lezione del 11/11/2015 44 visualizzazioni link a risorsa esterna download
43) Introduzione agli integrali impropri in più variabili. Commenti sulla scelta di limitare la teoria agli integrali assolutamente convergenti. Studio d Lezione del 11/11/2015 49 visualizzazioni link a risorsa esterna download
44) Un integrale improprio non dipende da come viene invasa la zona di integrazione in sede di definizione. Calcolo dell'integrale gaussiano mediante Lezione del 13/11/2015 44 visualizzazioni link a risorsa esterna download
45) Esercizi sullo studio della convergenza di integrali multipli impropri. Lezione del 13/11/2015 46 visualizzazioni link a risorsa esterna download
46) Volume della palla n-dimensionale: formule esplicite e ricorrenti. Integrali impropri in dimensione n: discussione degli esponenti critici per gli int Lezione del 17/11/2015 43 visualizzazioni link a risorsa esterna download
47) Esempi finali sugli integrali multipli impropri: utilizzo di stime sia sulle integrande, sia sulla zona di integrazione. Lezione del 17/11/2015 45 visualizzazioni link a risorsa esterna download
48) Definizione di curva e suo sostegno. Curve chiuse e semplici. Strategie per dimostrare la semplicità. Disegno di una curva piana. Vettore e retta tan Lezione del 18/11/2015 43 visualizzazioni link a risorsa esterna download
49) Definizione di lunghezza di una curva e di curva rettificabile. Le curve Lipschitziane sono rettificabili. Integrali di funzioni vettoriali: stime dal Lezione del 18/11/2015 43 visualizzazioni link a risorsa esterna download
50) Lunghezza di curve cartesiane o in coordinate polari. Esempi di calcolo di lunghezze curve. Discussione dell'indipendenza della lunghezza dalla pa Lezione del 19/11/2015 44 visualizzazioni link a risorsa esterna download
51) Esempi di curve di lunghezza infinita. Integrale curvilineo: notazioni, significato geometrico, idea della definizione, formula per il calcolo. Barice Lezione del 19/11/2015 41 visualizzazioni link a risorsa esterna download
52) Definizione di forma differenziale. Integrale di una forma differenziale su una curva: definizione ed interpretazione fisica. Commenti sui rapporti tr Lezione del 24/11/2015 44 visualizzazioni link a risorsa esterna download
53) Differente comportamento dell'integrale curvilineo di una forma e di una funzione rispetto a riparametrizzazioni di una curva. Forme differenziali Lezione del 24/11/2015 43 visualizzazioni link a risorsa esterna download
54) Forme differenziali chiuse. Esattezza implica chiusura. Insiemi convessi, stellati, connessi, semplicemente connessi. Le forme chiuse sono esatte negl Lezione del 25/11/2015 44 visualizzazioni link a risorsa esterna download
55) L'integrale di una forma chiusa su due curve omotope coincide (enunciato). Esempio di forma differenziale chiusa ma non esatta. Come testare l' Lezione del 25/11/2015 46 visualizzazioni link a risorsa esterna download
56) Integrali dipendenti da un parametro: teoremi di continuità e derivabilità (derivazione sotto il segno di integrale). Esattezza delle forme chiuse n Lezione del 27/11/2015 43 visualizzazioni link a risorsa esterna download
57) L'integrale di una forma chiusa su due curve omotope (mediante omotopia sufficientemente regolare) coincide. Quattro strategie per il calcolo dell Lezione del 27/11/2015 42 visualizzazioni link a risorsa esterna download
58) Superfici nello spazio: definizione e primi esempi. Superfici cartesiane. Piano tangente e vettore normale. Formula per un vettore perpendicolare a du Lezione del 01/12/2015 37 visualizzazioni link a risorsa esterna download
59) La retta tangente ad una curva su una superficie è contenuta nel piano tangente. Come non si definisce l'area di una superficie: esempio di Schwar Lezione del 01/12/2015 42 visualizzazioni link a risorsa esterna download
60) Definizione di area di una superficie e modi equivalenti di scrivere la formula per il calcolo. Invarianza dell'area per riparametrizzazione. Caso Lezione del 02/12/2015 48 visualizzazioni link a risorsa esterna download
61) Formule equivalenti per l'area di una superficie di rotazione. Teorema di Guldino per l'area delle superfici di rotazione. Integrali superfici Lezione del 02/12/2015 40 visualizzazioni link a risorsa esterna download
62) Gradiente, laplaciano, divergenza, rotore: definizioni e relazioni tra di esse. Significato di gradiente/divergenza/laplaciano nulli/uguali. Lezione del 04/12/2015 43 visualizzazioni link a risorsa esterna download
63) Teorema di Gauss-Green e teorema della divergenza nel piano. Equivalenza tra le due formulazioni. Interpretazione del termine di bordo come integrale Lezione del 04/12/2015 44 visualizzazioni link a risorsa esterna download
64) Applicazioni del teorema della divergenza: area ed integrale di funzioni su domini delimitati da curve date. Lezione del 09/12/2015 45 visualizzazioni link a risorsa esterna download
65) Applicazioni del teorema della divergenza: calcolo di integrali di flusso. Laplaciano in coordinate polari e funzioni armoniche radiali. Lezione del 09/12/2015 41 visualizzazioni link a risorsa esterna download
66) Dimostrazione del teorema della divergenza su insiemi normali. Idea euristica per dimostrare il teorema nel caso generale scomponendo il dominio e sfr Lezione del 11/12/2015 50 visualizzazioni link a risorsa esterna download
67) Partizioni dell'unità. Dimostrazione del teorema della divergenza nel caso generale. Lezione del 11/12/2015 45 visualizzazioni link a risorsa esterna download
68) Orientazione del bordo di una superficie. Enunciato della formula di Stokes (teorema del rotore). Come determinare un vettore che ha per rotore un vet Lezione del 15/12/2015 40 visualizzazioni link a risorsa esterna download
69) Quattro strategie per calcolare un integrale di flusso attraverso una superficie. Lezione del 15/12/2015 45 visualizzazioni link a risorsa esterna download
70) Dimostrazione della formula di Stokes. Dimostrazione via Gauss-Green di un caso particolare (dimensione due, maggior regolarità su dominio, integrand Lezione del 16/12/2015 43 visualizzazioni link a risorsa esterna download
71) Giustificazione formale dell'algoritmo per trovare un vettore dato il suo rotore. Esempio di vettore a divergenza nulla che non è un rotore. L' Lezione del 16/12/2015 41 visualizzazioni link a risorsa esterna download
72) Spazi metrici, spazi di Banach, spazi di Hilbert: definizioni, motivazioni, esempi principali. Lezione del 24/02/2016 43 visualizzazioni link a risorsa esterna download
73) Equivalenza tra continuità per successioni e continuità epsilon/delta in spazi metrici. Equivalenza di tutte le norme in dimensione finita. Definizi Lezione del 24/02/2016 42 visualizzazioni link a risorsa esterna download
74) Compattezza in spazi metrici: equivalenza tra compattezza per ricoprimenti, compattezza per successioni, e completezza più totale limitatezza. Lezione del 26/02/2016 45 visualizzazioni link a risorsa esterna download
75) Lemma del raggio magico (numero di Lebesgue di un ricoprimento). Teorema di Heine-Cantor in spazi metrici. Criterio per dimostrare la totale limitatez Lezione del 26/02/2016 41 visualizzazioni link a risorsa esterna download
76) Teorema delle contrazioni in spazi metrici. Completamento di uno spazio metrico: definizioni ed enunciato dei tre risultati principali (esistenza, uni Lezione del 01/03/2016 47 visualizzazioni link a risorsa esterna download
77) Dimostrazione dei tre risultati principali sul completamento di spazi metrici. Lezione del 01/03/2016 48 visualizzazioni link a risorsa esterna download
78) Teorema delle funzioni implicite: presentazione del problema, enunciato e dimostrazione nel caso di una equazione in due variabili, continuità e ulte Lezione del 02/03/2016 45 visualizzazioni link a risorsa esterna download
79) Teorema delle funzioni implicite (una equazione in dimensione n). Calcolo del polinomio di Taylor di funzioni definite implicitamente. Limiti all' Lezione del 02/03/2016 41 visualizzazioni link a risorsa esterna download
80) Teorema delle funzioni implicite (una equazione in dimensione 2): dimostrazione mediante punto fisso. Lezione del 04/03/2016 44 visualizzazioni link a risorsa esterna download
81) Teorema delle funzioni implicite: caso generale (k equazioni in dimensione n). Lezione del 04/03/2016 41 visualizzazioni link a risorsa esterna download
82) Teorema della funzione inversa (aka teorema di invertibilità locale). Teorema della mappa aperta. Lezione del 08/03/2016 45 visualizzazioni link a risorsa esterna download
83) Moltiplicatori di Lagrange: dimostrazione mediante teorema di invertibilità locale (nel caso generale) e mediante esplicitazione del vincolo (nel cas Lezione del 08/03/2016 45 visualizzazioni link a risorsa esterna download
84) Moltiplicatori di Lagrange: dimostrazione mediante esplicitazione del vincolo nel caso generale. Semicontinuità del rango di una matrice. Lezione del 09/03/2016 48 visualizzazioni link a risorsa esterna download
85) Moltiplicatori di Lagrange: dimostrazione mediante penalizzazione del vincolo. Esercizi sull'invertibilità di mappe vettoriali. Lezione del 09/03/2016 41 visualizzazioni link a risorsa esterna download
86) Moltiplicatori di Lagrange: condizione sufficiente per essere punto di massimo/minimo. Esercizi su funzioni implicite e funzioni inverse. Lezione del 11/03/2016 51 visualizzazioni link a risorsa esterna download
87) Successioni di funzioni: definizione di convergenza puntuale e uniforme. Primi esempi. Lezione del 11/03/2016 44 visualizzazioni link a risorsa esterna download
88) Convergenza uniforme: teoremi di scambio dell'integrale e della derivata. Lezione del 15/03/2016 43 visualizzazioni link a risorsa esterna download
89) Convergenza uniforme: teorema di scambio del limite. Continuità del limite uniforme di funzioni continue. Distanza nello spazio delle funzioni limita Lezione del 15/03/2016 43 visualizzazioni link a risorsa esterna download
90) La convergenza puntuale implica la convergenza uniforme sotto ipotesi di monotonia (sia ad x fisso sia ad n fisso): enunciati e dimostrazioni. Lezione del 16/03/2016 46 visualizzazioni link a risorsa esterna download
91) Convergenza uniforme sui compatti. Esercizio sulla convergenza in uno spazio di polinomi di grado limitato. Completezza o meno di spazi di funzioni ri Lezione del 16/03/2016 42 visualizzazioni link a risorsa esterna download
92) Serie di funzioni. Convergenza totale: definizione e rapporti con la convergenza uniforme. M-test di Weierstrass. Convergenza totale come convergenza Lezione del 18/03/2016 44 visualizzazioni link a risorsa esterna download
93) Esercizi sulle serie di funzioni. Lezione del 18/03/2016 37 visualizzazioni link a risorsa esterna download
94) Serie di potenze: definizioni, enunciato dei principali risultati, esempio pratico di utilizzo per il calcolo di speciali serie numeriche. Lezione del 05/04/2016 46 visualizzazioni link a risorsa esterna download
95) Serie di potenze: dimostrazione dei risultati principali (struttura dell'insieme convergenza, formula per il calcolo del raggio di convergenza, te Lezione del 05/04/2016 44 visualizzazioni link a risorsa esterna download
96) Funzioni analitiche: definizione e criteri. Analiticità delle funzioni elementari: esponenziale, seno, coseno, logaritmo, arcotangente, potenza ad es Lezione del 06/04/2016 27 visualizzazioni link a risorsa esterna download
97) Prodotto di Cauchy di serie numeriche. Teorema sul prodotto tra una serie convergente ed una assolutamente convergente. Prodotto di serie di potenze. Lezione del 06/04/2016 36 visualizzazioni link a risorsa esterna download
98) Esercizi sulle funzioni analitiche: complementi sul raggio di convergenza (è sempre il massimo possibile), l'insieme degli zeri è discreto, ordine Lezione del 07/04/2016 28 visualizzazioni link a risorsa esterna download
99) Calcolo della somma di serie di potenze, calcolo alla Eulero della somma dei quadrati dei reciproci degli interi, stima delle derivate successive di u Lezione del 07/04/2016 30 visualizzazioni link a risorsa esterna download
100) Esercizi sulle successioni di funzioni: convergenza uniforme della composizione, limite uniforme di funzioni periodiche. Lezione del 08/04/2016 34 visualizzazioni link a risorsa esterna download

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Allegati (138)
1) Dimostrazione della formula di cambio di variabili negli integrali multipli (parte prima): caso dell 2 downloads download
2) Integrali di funzioni con valori assoluti. Esercizi riassuntivi sugli integrali multipli. 2 downloads download
3) Basi teoriche della formula di spezzamento per integrali multipli. Teorema della media integrale. Ca 1 downloads download
4) Solidi di rotazione: equazioni e formula per il volume. Calcolo del baricentro di figure piane /soli 1 downloads download
5) Coordinate cilindriche e sferiche nello spazio. Cambi di variabile negli integrali tripli. Esempi di 1 downloads download
6) Formula di riduzione per sezioni per gli integrali tripli. Utilizzo delle simmetrie per mostrare che 1 downloads download
7) Integrali tripli: notazioni, significato fisico, definizione. Formula di riduzione sui parallelepipe 1 downloads download
8) Formula generale per il cambio di variabili negli integrali doppi ed esempi classici di applicazione 1 downloads download
9) Utilizzo delle coordinate polari per il calcolo di integrali doppi: descrizione della formula ed ese 1 downloads download
10) Formula di spezzamento in ipotesi di integrabilità. Insiemi misurabili e loro caratterizzazione. Mis 1 downloads download
11) Proprietà basilari dell'integrale (linearità, monotonia, integrale del prodotto e del valore ass 1 downloads download
12) Descrizione della formula di riduzione per integrali doppi su rettangoli e su insiemi normali. Analo 1 downloads download
13) Introduzione agli integrali doppi: notazioni, significato geometrico, step functions, integrale infe 1 downloads download
14) Esempi di funzioni convesse in due variabili. Esempio non banale di utilizzo dei moltiplicatori di L 1 downloads download
15) Convessità e continuità: le funzioni convesse sono continue e localmente lipschitziane nella parte i 1 downloads download
16) Equivalenza tra due definizioni di locale limitatezza. Le funzioni convesse sono localmente limitate 1 downloads download
17) Sottoinsiemi convessi e funzioni convesse in più variabili. Punti estremali di insiemi convessi e pu 1 downloads download
18) Dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra (via Weierstrass generalizzato e studio loca 1 downloads download
19) Teorema di Weierstrass generalizzato su insiemi non compatti. Esempi di problemi di massimo/minimo s 1 downloads download
20) Esercizi sui massimi/minimi per funzioni di più variabili su insiemi compatti. Metodo di sostituzion 1 downloads download
21) Metodo dei moltiplicatori di Lagrange (caso con più moltiplicatori): descrizione del metodo ed esemp 1 downloads download
22) Giustificazione intuitiva del metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Utilizzo misto di moltiplicator 1 downloads download
23) Metodo dei moltiplicatori di Lagrange (caso di un solo moltiplicatore): descrizione del metodo e pri 1 downloads download
24) Esercizi sul calcolo di gradiente e matrice hessiana in n variabili. Esercizi sulla chain rule: form 1 downloads download
25) Primi esempi di problemi di massimo/minimo su insiemi compatti: metodo delle linee di livello e meto 1 downloads download
26) Compattezza e teorema di Weierstrass in più variabili. Ricerca dei punti di massimo/minimo. Nei punt 1 downloads download
27) Dimostrazione del criterio che lega la segnatura dell'hessiana alla natura di un punto stazionar 1 downloads download
28) Fine ripasso sulle forme quadratiche. Stima dal basso per forme quadratiche definite positive. Matri 1 downloads download
29) Dimostrazione della formula di Taylor in più variabili con resto alla Peano. Ricapitolazione sulle f 1 downloads download
30) Teorema di Lagrange direzionale per funzioni di più variabili. Le funzioni con gradiente nullo sono 1 downloads download
31) Formalismo dei multi-indici. Sviluppo di Taylor in più variabili e idea della dimostrazione nel caso 1 downloads download
32) Derivate successive per funzioni di più variabili. Teorema di inversione dell'ordine di derivazi 1 downloads download
33) Lipschitzianità delle funzioni lineari. Chain rule e funzioni composte in più variabili: esempi di a 1 downloads download
34) Teorema del differenziale totale: caso classico e caso con ipotesi più minimaliste. Prodotto di matr 1 downloads download
35) Una funzione differenziabile è continua e ha tutte le derivate direzionali. Formula per le derivate 1 downloads download
36) Derivate parziali e direzionali e loro significato geometrico. Differenziale per funzioni di più var 1 downloads download
37) Ulteriori esempi di limiti per funzioni di più variabili. 1 downloads download
38) Limiti all'infinito per funzioni di più variabili. Esempi di limiti per funzioni di più variabil 1 downloads download
39) Definizioni di limite in un punto per funzioni di più variabili. Funzioni continue. Primi esempi di 1 downloads download
40) Introduzione al corso. Struttura euclidea, metrica e topologia nello spazio a n dimensioni. Funzioni 1 downloads download
41) Dimostrazione della formula di cambio di variabili negli integrali multipli (parte seconda): riduzio 1 downloads download
42) Dimostrazione della formula di cambio di variabili negli integrali multipli (parte terza): enunciato 1 downloads download
43) Introduzione agli integrali impropri in più variabili. Commenti sulla scelta di limitare la teoria a 1 downloads download
44) Un integrale improprio non dipende da come viene invasa la zona di integrazione in sede di definizio 1 downloads download
45) Esercizi sullo studio della convergenza di integrali multipli impropri. 1 downloads download
46) Volume della palla n-dimensionale: formule esplicite e ricorrenti. Integrali impropri in dimensione 1 downloads download
47) Esempi finali sugli integrali multipli impropri: utilizzo di stime sia sulle integrande, sia sulla z 1 downloads download
48) Definizione di curva e suo sostegno. Curve chiuse e semplici. Strategie per dimostrare la semplicità 1 downloads download
49) Definizione di lunghezza di una curva e di curva rettificabile. Le curve Lipschitziane sono rettific 1 downloads download
50) Lunghezza di curve cartesiane o in coordinate polari. Esempi di calcolo di lunghezze curve. Discussi 1 downloads download
51) Esempi di curve di lunghezza infinita. Integrale curvilineo: notazioni, significato geometrico, idea 1 downloads download
52) Definizione di forma differenziale. Integrale di una forma differenziale su una curva: definizione e 1 downloads download
53) Differente comportamento dell'integrale curvilineo di una forma e di una funzione rispetto a rip 1 downloads download
54) Forme differenziali chiuse. Esattezza implica chiusura. Insiemi convessi, stellati, connessi, sempli 1 downloads download
55) L'integrale di una forma chiusa su due curve omotope coincide (enunciato). Esempio di forma diff 1 downloads download
56) Integrali dipendenti da un parametro: teoremi di continuità e derivabilità (derivazione sotto il seg 1 downloads download
57) L'integrale di una forma chiusa su due curve omotope (mediante omotopia sufficientemente regolar 1 downloads download
58) Superfici nello spazio: definizione e primi esempi. Superfici cartesiane. Piano tangente e vettore n 1 downloads download
59) La retta tangente ad una curva su una superficie è contenuta nel piano tangente. Come non si definis 1 downloads download
60) Definizione di area di una superficie e modi equivalenti di scrivere la formula per il calcolo. Inva 1 downloads download
61) Formule equivalenti per l'area di una superficie di rotazione. Teorema di Guldino per l'area 1 downloads download
62) Gradiente, laplaciano, divergenza, rotore: definizioni e relazioni tra di esse. Significato di gradi 1 downloads download
63) Teorema di Gauss-Green e teorema della divergenza nel piano. Equivalenza tra le due formulazioni. In 1 downloads download
64) Applicazioni del teorema della divergenza: area ed integrale di funzioni su domini delimitati da cur 1 downloads download
65) Applicazioni del teorema della divergenza: calcolo di integrali di flusso. Laplaciano in coordinate 1 downloads download
66) Dimostrazione del teorema della divergenza su insiemi normali. Idea euristica per dimostrare il teor 1 downloads download
67) Partizioni dell'unità. Dimostrazione del teorema della divergenza nel caso generale. 1 downloads download
68) Orientazione del bordo di una superficie. Enunciato della formula di Stokes (teorema del rotore). Co 1 downloads download
69) Quattro strategie per calcolare un integrale di flusso attraverso una superficie. 1 downloads download
70) Dimostrazione della formula di Stokes. Dimostrazione via Gauss-Green di un caso particolare (dimensi 1 downloads download
71) Giustificazione formale dell'algoritmo per trovare un vettore dato il suo rotore. Esempio di vet 1 downloads download
72) Spazi metrici, spazi di Banach, spazi di Hilbert: definizioni, motivazioni, esempi principali. 1 downloads download
73) Equivalenza tra continuità per successioni e continuità epsilon/delta in spazi metrici. Equivalenza 1 downloads download
74) Compattezza in spazi metrici: equivalenza tra compattezza per ricoprimenti, compattezza per successi 1 downloads download
75) Lemma del raggio magico (numero di Lebesgue di un ricoprimento). Teorema di Heine-Cantor in spazi me 1 downloads download
76) Teorema delle contrazioni in spazi metrici. Completamento di uno spazio metrico: definizioni ed enun 1 downloads download
77) Dimostrazione dei tre risultati principali sul completamento di spazi metrici. 1 downloads download
78) Teorema delle funzioni implicite: presentazione del problema, enunciato e dimostrazione nel caso di 1 downloads download
79) Teorema delle funzioni implicite (una equazione in dimensione n). Calcolo del polinomio di Taylor di 1 downloads download
80) Teorema delle funzioni implicite (una equazione in dimensione 2): dimostrazione mediante punto fisso 1 downloads download
81) Teorema delle funzioni implicite: caso generale (k equazioni in dimensione n). 1 downloads download
82) Teorema della funzione inversa (aka teorema di invertibilità locale). Teorema della mappa aperta. 1 downloads download
83) Moltiplicatori di Lagrange: dimostrazione mediante teorema di invertibilità locale (nel caso general 1 downloads download
84) Moltiplicatori di Lagrange: dimostrazione mediante esplicitazione del vincolo nel caso generale. Sem 1 downloads download
85) Moltiplicatori di Lagrange: dimostrazione mediante penalizzazione del vincolo. Esercizi sull'inv 1 downloads download
86) Moltiplicatori di Lagrange: condizione sufficiente per essere punto di massimo/minimo. Esercizi su 1 downloads download
87) Successioni di funzioni: definizione di convergenza puntuale e uniforme. Primi esempi. 1 downloads download
88) Convergenza uniforme: teoremi di scambio dell'integrale e della derivata. 1 downloads download
89) Convergenza uniforme: teorema di scambio del limite. Continuità del limite uniforme di funzioni cont 1 downloads download
90) La convergenza puntuale implica la convergenza uniforme sotto ipotesi di monotonia (sia ad x fisso s 1 downloads download
91) Convergenza uniforme sui compatti. Esercizio sulla convergenza in uno spazio di polinomi di grado li 1 downloads download
92) Serie di funzioni. Convergenza totale: definizione e rapporti con la convergenza uniforme. M-test di 1 downloads download
93) Esercizi sulle serie di funzioni. 1 downloads download
94) Serie di potenze: definizioni, enunciato dei principali risultati, esempio pratico di utilizzo per i 1 downloads download
95) Serie di potenze: dimostrazione dei risultati principali (struttura dell'insieme convergenza, fo 1 downloads download
96) Funzioni analitiche: definizione e criteri. Analiticità delle funzioni elementari: esponenziale, sen 1 downloads download
97) Prodotto di Cauchy di serie numeriche. Teorema sul prodotto tra una serie convergente ed una assolut 1 downloads download
98) Esercizi sulle funzioni analitiche: complementi sul raggio di convergenza (è sempre il massimo possi 1 downloads download
99) Calcolo della somma di serie di potenze, calcolo alla Eulero della somma dei quadrati dei reciproci 1 downloads download
100) Esercizi sulle successioni di funzioni: convergenza uniforme della composizione, limite uniforme di 1 downloads download
101) Esercizi sulle serie di funzioni: limiti trattati mediante confronto serie-integrali e risoluzione p 1 downloads download
102) Equazioni differenziali: riepilogo notazioni, formulazione integrale di un problema di Cauchy (equaz 1 downloads download
103) Parte di esistenza del teorema CLPL: dimostrazione alla Cauchy-Lipschitz (via contrazioni senza temp 1 downloads download
104) Parte di esistenza del teorema CLPL: dimostrazione mediante contrattività di una opportuna iterata d 1 downloads download
105) Parte di unicità del teorema CLPL: dimostrazione mediante le contrazioni e mediante lemma di Gronwal 1 downloads download
106) Teorema di Ascoli-Arzelà (versione standard sulla retta reale): enunciato e dimostrazione. 1 downloads download
107) Teorema di Ascoli-Arzelà (versione metrica e variante con sola convergenza sui compatti). Dimostrazi 1 downloads download
108) Dimostrazione del teorema di Peano con approssimanti alla Tonelli (problemi con ritardo). Approssima 1 downloads download
109) Teorema di esistenza globale (caso di rhs globalmente limitato). Teorema di alternativa (esistenza g 1 downloads download
110) Teorema dell'asintoto. Primi esempi di studio qualitativo per equazioni differenziali autonome. 1 downloads download
111) Soprasoluzioni e sottosoluzioni e relativo teorema di confronto. Teorema di esistenza globale (caso 1 downloads download
112) Ulteriori esempi di studio qualitativo di equazioni autonome. 1 downloads download
113) Primi esempi di studio qualitativo di equazioni non autonome. 1 downloads download
114) Teorema di confronto tra soprasoluzioni e sottosoluzioni deboli (nel caso Lipschitz). Parte di unici 1 downloads download
115) Primo esempio di studio qualitativo di un'equazione differenziale non autonoma con valori soglia 1 downloads download
116) Ulteriore esempio di studio qualitativo con valori soglia. 1 downloads download
117) Esercizi sullo studio qualitativo di equazioni differenziali. 1 downloads download
118) Dipendenza continua dal dato iniziale: passaggio al limite nel caso con rhs continuo e stima della d 1 downloads download
119) Equazioni di ordine 2: spazio delle fasi, introduzione al metodo energetico, primi esempi. 1 downloads download
120) Equazioni di ordine 2: blow up vs esistenza di soluzioni periodiche, calcolo del periodo e sua dipen 1 downloads download
121) Sistemi di equazioni differenziali lineari autonome a coefficienti costanti: teoria generale. Espone 1 downloads download
122) Sistemi di equazioni differenziali lineari omogenee: studio della stabilità e stabilità asintotica n 1 downloads download
123) Sistemi di equazioni differenziali lineari omogenee: studio dell'asintotica stabilità con metodi 1 downloads download
124) Teorema di linearizzazione: enunciato più formale e dimostrazione energetica nel caso di linearizzat 1 downloads download
125) Equazione logistica. Esempi di sistemi di equazioni differenziali: modello preda-predatore (Volterra 1 downloads download
126) Esempi di sistemi di equazioni differenziali: modello per due specie in competizione, epidemia SIS, 1 downloads download
127) Esempi di studio di equazioni differenziali del secondo ordine non lineari. Buca di potenziale. 1 downloads download
128) Esempio di convergenza dominata per integrali impropri. Calcolo dell'integrale di Dirichlet. 1 downloads download
129) Derivazione sotto il segno di integrale per integrali impropri. Applicazione all'integrale di Di 1 downloads download
130) Fine del calcolo degli integrali di Fresnel. Wronskiano e teorema di oscillazione per equazioni line 1 downloads download
131) Introduzione alla teoria della misura: motivazioni. Paradosso di Banach-Tarski. Sigma-algebra. Tre d 1 downloads download
132) Teoremi di passaggio al limite della misura su successioni monotone di insiemi. Insiemi misurabili a 1 downloads download
133) Costruzioni di misure: metodo I (misura di Lebesgue) e metodo II (misure di Hausdorff). Verifica che 1 downloads download
134) Gli insiemi boreliani sono misurabili se e solo se la misura è additiva sui distanti. Le misure cost 1 downloads download
135) Misurabilità alla Caratheodory vs misura interna. Esempio di Vitali (insieme non misurabile secondo 1 downloads download
136) Step functions (con immagine finita o numerabile). Definizione di integrale per funzioni positive (e 1 downloads download
137) Enunciato dei tre teoremi di passaggio al limite (Beppo Levi o convergenza monotona, lemma di Fatou, 1 downloads download
138) Dimostrazione del teorema di convergenza dominata e di convergenza monotona. Teoremi di continuità e 1 downloads download