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Corso di Algebra Lineare

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pubblicato 28/03/2017

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Corso di Laurea in Matematica Anno accademico 2014/2015
Prof.Massimo Gobbino - Università di Pisa - Dipartimento di Matematica
Ore di lezione 60
Target: Ingegneria Elettronica / Telecomunicazione

Stampato integrale lezioni: users.dma.unipi.it/~gobbino/Home...k.pdf
Informazioni sui video: users.dma.unipi.it/~gobbino/Home...AD_Vi

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1) Vettori geometrici nel piano cartesiano. Operazioni tra vettori: somma, prodotto per un numero, prodotto scalare, norma, distanza. Lezione del 01/10/2014 90 visualizzazioni link a risorsa esterna download
2) Coordinate polari nel piano. Interpretazione geometrica del prodotto scalare (usando le coordinate polari o il teorema di Carnot). Disuguaglianza di C Lezione del 01/10/2014 62 visualizzazioni link a risorsa esterna download
3) Rette nel piano: equazione cartesiana vs equazione parametrica. Significato dei coefficienti nei vari tipi di rappresentazione. Lezione del 01/10/2014 38 visualizzazioni link a risorsa esterna download
4) Introduzione ai sistemi lineari. Esempi con soluzione unica, nessuna soluzione, infinite soluzioni. Algoritmo di Gauss. Lezione del 03/10/2014 47 visualizzazioni link a risorsa esterna download
5) Matrici a scala e pivot. Interpretazione dei risultati dell'algoritmo di Gauss. Esempi di applicazione. Variante alla Jordan dell'algoritmo di Lezione del 03/10/2014 54 visualizzazioni link a risorsa esterna download
6) Geometria analitica nello spazio. Equazione parametrica della retta nello spazio. Mutua posizione di due rette nello spazio. Lezione del 08/10/2014 38 visualizzazioni link a risorsa esterna download
7) Piani nello spazio: equazione cartesiana e parametrica. Significato geometrico dei coefficienti nell'equazione cartesiana. Passaggio dalla paramet Lezione del 08/10/2014 58 visualizzazioni link a risorsa esterna download
8) Intersezione di due rette nel piano (date in varia forma) e nello spazio, intersezione di due piani nello spazio, intersezione di una retta ed un pian Lezione del 08/10/2014 56 visualizzazioni link a risorsa esterna download
9) Matrici e operazioni tra matrici: somma, prodotto per un numero, prodotto tra matrici. Trasposta di una matrice. Interpretazione dei sistemi lineari i Lezione del 10/10/2014 47 visualizzazioni link a risorsa esterna download
10) Esercizi di geometria analitica nello spazio: area di un triangolo, volume di un tetraedro, piede dell'altezza di un triangolo. Sistemi lineari n* Lezione del 10/10/2014 37 visualizzazioni link a risorsa esterna download
11) Definizione di campo di numeri, di spazio vettoriale e sottospazio vettoriale. Esempi classici di campo e spazio vettoriale. Primi esempi di sottospaz Lezione del 15/10/2014 42 visualizzazioni link a risorsa esterna download
12) Definizioni: combinazione lineare, Span, sistema di generatori, vettori linearmente indipendenti e dipendenti, base, dimensione. Basi canoniche e dime Lezione del 15/10/2014 39 visualizzazioni link a risorsa esterna download
13) Componenti di un vettore rispetto ad una base. Esempi di basi e calcolo di componenti. Interpretazione dei sistemi lineari in termini di combinazioni Lezione del 15/10/2014 39 visualizzazioni link a risorsa esterna download
14) Teorema di esistenza della base. Tutte le basi hanno lo stesso numero di elementi. Come ottenere basi per eliminazione da un sistema di generatori o a Lezione del 22/10/2014 41 visualizzazioni link a risorsa esterna download
15) Intersezione e somma di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann. Lezione del 22/10/2014 40 visualizzazioni link a risorsa esterna download
16) Presentazione cartesiana e parametrica di un sottospazio vettoriale. Esempi di sottospazi vettoriali descritti in vario modo e relative basi e dimensi Lezione del 22/10/2014 36 visualizzazioni link a risorsa esterna download
17) Applicazioni lineari. Teorema di struttura. Matrice associata ad un'applicazione lineare dopo aver scelto basi in partenza ed arrivo. Lezione del 24/10/2014 43 visualizzazioni link a risorsa esterna download
18) Esempi di costruzione della matrice associata ad un'applicazione lineare. Costruzione di una matrice di cambio di base. Lezione del 24/10/2014 38 visualizzazioni link a risorsa esterna download
19) Ker e immagine di un'applicazione lineare. Teorema rank-nullity (relazione tra le dimensioni di ker, immagine e spazio di partenza). Conseguenze i Lezione del 29/10/2014 43 visualizzazioni link a risorsa esterna download
20) Interpretazione dei sistemi lineari in termini di ker e immagine. Struttura dell'insieme delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo (soluz Lezione del 29/10/2014 50 visualizzazioni link a risorsa esterna download
21) Matrice inversa: quando esiste e come si calcola con l'algoritmo alla Gauss-Jordan. Giustificazione dell'algoritmo. Uso delle matrici inverse Lezione del 29/10/2014 40 visualizzazioni link a risorsa esterna download
22) Dimostrazione del "teorema di sostituzione" (punto di partenza per i teoremi su basi e dimensione di spazi vettoriali). Esercizi sulla matrice associa Lezione del 31/10/2014 48 visualizzazioni link a risorsa esterna download
23) Proprietà della matrice trasposta ed inversa. Esercizi misti su sottospazi vettoriali e cambi di base. Lezione del 31/10/2014 42 visualizzazioni link a risorsa esterna download
24) Introduzione ai determinanti: obiettivi, definizione assiomatica, prime proprietà (alternanza e annullamento nel caso di vettori linearmente dipenden Lezione del 05/11/2014 42 visualizzazioni link a risorsa esterna download
25) Determinante nel caso 3*3: regola di Sarrus e interpretazione geometrica. Determinante e algoritmo di Gauss. Determinante di matrici diagonali e trian Lezione del 05/11/2014 40 visualizzazioni link a risorsa esterna download
26) Sottomatrici e minori. Sviluppi di Laplace (ricorsivi) per colonne e per righe. Enunciato dell'esistenza del determinante via sviluppi per colonne Lezione del 05/11/2014 42 visualizzazioni link a risorsa esterna download
27) Descrizione dello sviluppo di Leibnitz (con le permutazioni) del determinante. Teorema di Binet (enunciato e parte della dimostrazione). Regola di Cra Lezione del 07/11/2014 41 visualizzazioni link a risorsa esterna download
28) Dimostrazione del teorema di Binet e della formula di Cramer. Formula per la matrice inversa con i determinanti. Formula per i vettori perpendicolari Lezione del 07/11/2014 45 visualizzazioni link a risorsa esterna download
29) Rango di una matrice. Dimostrazione completa dell'equivalenza tra R-rango, C-rango, D-rango. Rango ed algoritmo di Gauss. Pivot e rango delle matr Lezione del 10/11/2014 48 visualizzazioni link a risorsa esterna download
30) Rango e sistemi lineari: teorema di Rouché-Capelli. Esempi di utilizzo del rango nella risoluzione di esercizi. Lezione del 10/11/2014 41 visualizzazioni link a risorsa esterna download
31) Basi ortogonali e ortonormali. Componenti di un vettore rispetto a tali basi. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Lezione del 12/11/2014 38 visualizzazioni link a risorsa esterna download
32) Ortogonale di un sottospazio e sue proprietà. Esempi di calcolo di basi ortogonali e di ortogonali di sottospazi. Lezione del 12/11/2014 35 visualizzazioni link a risorsa esterna download
33) Matrici ortogonali e loro proprietà. Proiezione ortogonale su un sottospazio. Lezione del 12/11/2014 38 visualizzazioni link a risorsa esterna download
34) Struttura delle matrici ortogonali 2*2. Esercizi su matrici ortogonali, basi ortogonali e ortonormali, applicazioni lineari e matrici di cambio di bas Lezione del 13/11/2014 32 visualizzazioni link a risorsa esterna download
35) Forma canonica di un'applicazione lineare potendo scegliere basi a piacere in partenza ed arrivo (dipende solo dal rango). Lezione del 19/11/2014 37 visualizzazioni link a risorsa esterna download
36) Introduzione motivazionale alle forme canoniche per applicazioni da uno spazio in sé (stessa base in partenza ed arrivo): matrici simili, autovalori, Lezione del 19/11/2014 41 visualizzazioni link a risorsa esterna download
37) Prime proprietà delle matrici simili. Polinomio caratteristico ed autovalori. Molteplicità algebrica e geometrica. Disuguaglianza tra le molteplicit Lezione del 19/11/2014 45 visualizzazioni link a risorsa esterna download
38) Richiami su coefficienti di un polinomio vs somma e prodotto delle radici. Coefficienti del polinomio caratteristico di una matrice. Autovalori relati Lezione del 21/11/2014 71 visualizzazioni link a risorsa esterna download
39) Condizione necessaria e sufficiente per la diagonalizzabilità sui reali o sui complessi. Condizione solo necessaria. Descrizione dei blocchi di Jorda Lezione del 21/11/2014 45 visualizzazioni link a risorsa esterna download
40) Applicazioni lineari simmetriche vs matrici simmetriche. Enunciato del teorema spettrale in termini di applicazioni ed in termini di matrici. Autovett Lezione del 22/11/2014 48 visualizzazioni link a risorsa esterna download
41) Dimostrazione del teorema spettrale (via esistenza di almeno un autovalore reale ed invarianza dell'ortogonale di un sottospazio invariante). Rias Lezione del 22/11/2014 48 visualizzazioni link a risorsa esterna download
42) Esempi ed esercizi sulle forme canoniche. Lezione del 22/11/2014 37 visualizzazioni link a risorsa esterna download
43) Introduzione alle forme quadratiche: definizione, matrice associata, forme (semi)definite positive/negative, segnatura come terna di numeri. Lezione del 26/11/2014 40 visualizzazioni link a risorsa esterna download
44) Descrizione dei metodi per trovare la segnatura di una forma quadratica: segno degli autovalori, completamento dei quadrati, minori orlati di Sylveste Lezione del 26/11/2014 43 visualizzazioni link a risorsa esterna download
45) Ricerca di sottospazi di dimensione opportuna su cui una forma quadratica è definita positiva/negativa (via completamento dei quadrati). Dimostrazion Lezione del 26/11/2014 34 visualizzazioni link a risorsa esterna download
46) Dimostrazione dell'esistenza di un polinomio che annulla una matrice. Polinomio minimo di una matrice. Enunciato del teorema di Hamilton-Cayley. P Lezione del 28/11/2014 44 visualizzazioni link a risorsa esterna download
47) Forma di Jordan reale vs forma di Jordan complessa: come ottenere la prima dalla seconda e come ottenere la matrice di cambio di base che porta nella Lezione del 28/11/2014 41 visualizzazioni link a risorsa esterna download
48) Definizione astratta di prodotto scalare. Matrice associata ad un prodotto scalare. Forma quadratica associata ad un prodotto scalare. Come varia la m Lezione del 03/12/2014 38 visualizzazioni link a risorsa esterna download
49) Algoritmo di Gram-Schmidt per un prodotto scalare qualunque definito positivo. Teorema di Sylvester (Sylvester's law of inertia). Esempio di passa Lezione del 03/12/2014 36 visualizzazioni link a risorsa esterna download
50) Esempio di funzioni ortogonali rispetto ad un prodotto scalare definito tramite integrale. Applicazioni simmetriche rispetto ad un prodotto scalare ge Lezione del 03/12/2014 50 visualizzazioni link a risorsa esterna download
51) Introduzione alla geometria affine. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini. Trasformazioni affini e loro composizioni. Traslazioni e Lezione del 05/12/2014 47 visualizzazioni link a risorsa esterna download
52) Teorema di struttura delle isometrie nello spazio n-dimensionale. Rotazioni nel piano. Interpretazione dei blocchi di Jordan reali come composizione d Lezione del 05/12/2014 38 visualizzazioni link a risorsa esterna download
53) Classificazione delle isometrie del piano sulla base del luogo dei punti fissi. Esempi di calcolo dell'immagine e della controimmagine di punti e Lezione del 10/12/2014 35 visualizzazioni link a risorsa esterna download
54) Esercizi sulle isometrie del piano. Lezione del 10/12/2014 38 visualizzazioni link a risorsa esterna download
55) Introduzione alle isometrie dello spazio. Classificazione delle matrici 3*3 ortogonali. Simmetria rispetto ad un piano passante per l'origine. Lezione del 10/12/2014 38 visualizzazioni link a risorsa esterna download
56) Matrici ortogonali che rappresentano (nello spazio) la simmetria rispetto ad un piano o la rotazione rispetto ad una retta (entrambi passanti per l Lezione del 17/12/2014 34 visualizzazioni link a risorsa esterna download
57) Matrici che rappresentano una rotazione rispetto ad una retta seguita dalla simmetria rispetto al piano ortogonale alla retta stessa. Classificazione Lezione del 17/12/2014 33 visualizzazioni link a risorsa esterna download
58) Esercizi sulle isometrie dello spazio. Rette sghembe nello spazio: come trovare la distanza, i punti di minima distanza, ed un piano che contiene la p Lezione del 17/12/2014 33 visualizzazioni link a risorsa esterna download
59) Semplici esempi di studio di ellissi ed iperboli nel piano (non in forma canonica). Esponenziali e funzioni trascendenti di matrici. Lezione del 19/12/2014 36 visualizzazioni link a risorsa esterna download
60) Cambi di basi ed algoritmo jpeg (o mp3). Lezione del 19/12/2014 40 visualizzazioni link a risorsa esterna download

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1) Vettori geometrici nel piano cartesiano. Operazioni tra vettori: somma, prodotto per un numero, prod 4 downloads download
2) Coordinate polari nel piano. Interpretazione geometrica del prodotto scalare (usando le coordinate p 1 downloads download
3) Rette nel piano: equazione cartesiana vs equazione parametrica. Significato dei coefficienti nei var 1 downloads download
4) Introduzione ai sistemi lineari. Esempi con soluzione unica, nessuna soluzione, infinite soluzioni. 1 downloads download
5) Matrici a scala e pivot. Interpretazione dei risultati dell'algoritmo di Gauss. Esempi di applic 1 downloads download
6) Geometria analitica nello spazio. Equazione parametrica della retta nello spazio. Mutua posizione di 1 downloads download
7) Piani nello spazio: equazione cartesiana e parametrica. Significato geometrico dei coefficienti nell 1 downloads download
8) Intersezione di due rette nel piano (date in varia forma) e nello spazio, intersezione di due piani 1 downloads download
9) Matrici e operazioni tra matrici: somma, prodotto per un numero, prodotto tra matrici. Trasposta di 1 downloads download
10) Esercizi di geometria analitica nello spazio: area di un triangolo, volume di un tetraedro, piede de 1 downloads download
11) Definizione di campo di numeri, di spazio vettoriale e sottospazio vettoriale. Esempi classici di ca 1 downloads download
12) Definizioni: combinazione lineare, Span, sistema di generatori, vettori linearmente indipendenti e d 2 downloads download
13) Componenti di un vettore rispetto ad una base. Esempi di basi e calcolo di componenti. Interpretazio 1 downloads download
14) Teorema di esistenza della base. Tutte le basi hanno lo stesso numero di elementi. Come ottenere bas 1 downloads download
15) Intersezione e somma di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann. 1 downloads download
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18) Esempi di costruzione della matrice associata ad un'applicazione lineare. Costruzione di una mat 1 downloads download
19) Ker e immagine di un'applicazione lineare. Teorema rank-nullity (relazione tra le dimensioni di 1 downloads download
20) Interpretazione dei sistemi lineari in termini di ker e immagine. Struttura dell'insieme delle s 1 downloads download
21) Matrice inversa: quando esiste e come si calcola con l'algoritmo alla Gauss-Jordan. Giustificazi 1 downloads download
22) Dimostrazione del "teorema di sostituzione" (punto di partenza per i teoremi su basi e dimensione di 1 downloads download
23) Proprietà della matrice trasposta ed inversa. Esercizi misti su sottospazi vettoriali e cambi di bas 1 downloads download
24) Introduzione ai determinanti: obiettivi, definizione assiomatica, prime proprietà (alternanza e annu 1 downloads download
25) Determinante nel caso 3*3: regola di Sarrus e interpretazione geometrica. Determinante e algoritmo d 1 downloads download
26) Sottomatrici e minori. Sviluppi di Laplace (ricorsivi) per colonne e per righe. Enunciato dell'e 1 downloads download
27) Descrizione dello sviluppo di Leibnitz (con le permutazioni) del determinante. Teorema di Binet (enu 1 downloads download
28) Dimostrazione del teorema di Binet e della formula di Cramer. Formula per la matrice inversa con i d 1 downloads download
29) Rango di una matrice. Dimostrazione completa dell'equivalenza tra R-rango, C-rango, D-rango. Ran 1 downloads download
30) Rango e sistemi lineari: teorema di Rouché-Capelli. Esempi di utilizzo del rango nella risoluzione d 1 downloads download
31) Basi ortogonali e ortonormali. Componenti di un vettore rispetto a tali basi. Procedimento di ortogo 1 downloads download
32) Ortogonale di un sottospazio e sue proprietà. Esempi di calcolo di basi ortogonali e di ortogonali d 1 downloads download
33) Matrici ortogonali e loro proprietà. Proiezione ortogonale su un sottospazio. 1 downloads download
34) Struttura delle matrici ortogonali 2*2. Esercizi su matrici ortogonali, basi ortogonali e ortonormal 1 downloads download
35) Forma canonica di un'applicazione lineare potendo scegliere basi a piacere in partenza ed arrivo 1 downloads download
36) Introduzione motivazionale alle forme canoniche per applicazioni da uno spazio in sé (stessa base in 1 downloads download
37) Prime proprietà delle matrici simili. Polinomio caratteristico ed autovalori. Molteplicità algebrica 1 downloads download
38) Richiami su coefficienti di un polinomio vs somma e prodotto delle radici. Coefficienti del polinomi 1 downloads download
39) Condizione necessaria e sufficiente per la diagonalizzabilità sui reali o sui complessi. Condizione 1 downloads download
40) Applicazioni lineari simmetriche vs matrici simmetriche. Enunciato del teorema spettrale in termini 1 downloads download
41) Dimostrazione del teorema spettrale (via esistenza di almeno un autovalore reale ed invarianza dell& 1 downloads download
42) Esempi ed esercizi sulle forme canoniche. 1 downloads download
43) Introduzione alle forme quadratiche: definizione, matrice associata, forme (semi)definite positive/n 1 downloads download
44) Descrizione dei metodi per trovare la segnatura di una forma quadratica: segno degli autovalori, com 1 downloads download
45) Ricerca di sottospazi di dimensione opportuna su cui una forma quadratica è definita positiva/negati 1 downloads download
46) Dimostrazione dell'esistenza di un polinomio che annulla una matrice. Polinomio minimo di una ma 1 downloads download
47) Forma di Jordan reale vs forma di Jordan complessa: come ottenere la prima dalla seconda e come otte 1 downloads download
48) Definizione astratta di prodotto scalare. Matrice associata ad un prodotto scalare. Forma quadratica 1 downloads download
49) Algoritmo di Gram-Schmidt per un prodotto scalare qualunque definito positivo. Teorema di Sylvester 1 downloads download
50) Esempio di funzioni ortogonali rispetto ad un prodotto scalare definito tramite integrale. Applicazi 1 downloads download
51) Introduzione alla geometria affine. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini. Trasfo 1 downloads download
52) Teorema di struttura delle isometrie nello spazio n-dimensionale. Rotazioni nel piano. Interpretazio 1 downloads download
53) Classificazione delle isometrie del piano sulla base del luogo dei punti fissi. Esempi di calcolo de 1 downloads download
54) Esercizi sulle isometrie del piano. 1 downloads download
55) Introduzione alle isometrie dello spazio. Classificazione delle matrici 3*3 ortogonali. Simmetria ri 1 downloads download
56) Matrici ortogonali che rappresentano (nello spazio) la simmetria rispetto ad un piano o la rotazione 1 downloads download
57) Matrici che rappresentano una rotazione rispetto ad una retta seguita dalla simmetria rispetto al pi 1 downloads download
58) Esercizi sulle isometrie dello spazio. Rette sghembe nello spazio: come trovare la distanza, i punti 1 downloads download
59) Semplici esempi di studio di ellissi ed iperboli nel piano (non in forma canonica). Esponenziali e f 1 downloads download
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